)s 习题44-1．如图所示的圆锥摆，绳长为l ，绳子一端固定，另一端系一质量为m 的质点，以匀角速ω绕铅直线作圆周运动，绳子与铅直线的夹角为θ。

在质点旋转一周的过程中，试求：（1）质点所受合外力的冲量I；（2）质点所受张力T 的冲量T I。

解：（1）设周期为τ，因质点转动一周的过程中，速度没有变化，12v v =，由I mv =∆ ，∴旋转一周的冲量0I =；（2）如图该质点受的外力有重力和拉力，且cos T mg θ=，∴张力T 旋转一周的冲量：2cos T I T j mg j πθτω=⋅=⋅所以拉力产生的冲量为2mgπω，方向竖直向上。

4-2．一物体在多个外力作用下作匀速直线运动，速度4/v m s =。

已知其中一力F方向恒与运动方向一致，大小随时间变化内关系曲线为半个椭圆，如图。

求：（1）力F在1s 到3s 间所做的功；（2）其他力在1s 到3s 间所做的功。

解：（1）半椭圆面积⋅====⋅=⎰⎰⎰⎰v t F v t Fv x F x F A d d d dJ 6.12540201214==⨯⨯⨯=ππ（2）由动能定理可知，当物体速度不变时，外力做的总功为零，所以当该F做的功为125.6J 时，其他的力 的功为-125.6J 。

4-3．质量为m 的质点在Oxy 平面内运动，运动学方程为cos sin r a t i b t j ωω=+，求：（1）质点在任一时刻的动量；（2）从0=t 到ωπ/2=t 的时间内质点受到的冲量。

解：（1）根据动量的定义：P mv = ，而drv dt== sin cos a t i b t j ωωωω-+ ， ∴()(sin cos )P t m a t i b t j ωωω=-- ；（2）由2()(0)0I mv P P m b j m b j πωωω=∆=-=-= ， 所以冲量为零。

4-4．质量为M =2.0kg 的物体（不考虑体积），用一根长为l =1.0m 的细绳悬挂在天花板上。

今有一质量为m =20g 的子弹以0v =600m/s 的水平速度射穿物体。

刚射出物体时子弹的速度大小v =30m/s ，设穿透时间极短。

求： （1）子弹刚穿出时绳中张力的大小； （2）子弹在穿透过程中所受的冲量。

解：（1）解：由碰撞过程动量守恒可得：01mv mv M v =+∴01 5.7mv mvv M-==/m s 根据圆周运动的规律：21v T Mg M l -=，有：2184.6v T Mg M N l=+=；（2）根据冲量定理可得：00.0257011.4I mv mv N s =-=-⨯=-⋅。

4-5．一静止的原子核经放射性衰变产生出一个电子和一个中微子，巳知电子的动量为m/s kg 102.122⋅⨯-，中微子的动量为236.410kg m/s -⨯⋅，两动量方向彼此垂直。

（1）求核反冲动量的大小和方向；（2）已知衰变后原子核的质量为kg 108.526-⨯，求其反冲动能。

解：由碰撞时，动量守恒，分析示意图，有： （1）2210P -==核 221.3610/kgm s -=⨯又∵0.64tan 1.2P P α==中微子电子，∴028.1α= ，所以221.410/P kgm s -=⨯核 ，9.151=-=απθ ； （2）反冲的动能为：2180.17102k P E J m -==⨯核核。

4-6．一颗子弹在枪筒里前进时所受的合力大小为5440010()3F t N =-⨯，子弹从枪口射出时的速率为300/m s 。

设子弹离开枪口处合力刚好为零。

求：（1）子弹走完枪筒全长所用的时间t ；（2）子弹在枪筒中所受力的冲量I ； （3）子弹的质量。

解：（1）由于离开枪口处合力刚好为零，有：544001003t -⨯=， 得：3310t s -=⨯；（2）由冲量定义：0tI F dt =⎰有：0.0035520.003004240010(40010)0.633I t dt t t N s =-⨯=-⨯=⋅⎰（） （3）再由Im v=，有：30.6/300210m kg -==⨯。

4-7．有质量为m 2的弹丸，从地面斜抛出去，它的落地点为c x 。

如果它在飞行到最高点处爆炸成质量相等的两碎片。

其中一碎片铅直自由下落，另一碎片水平抛出，它们同时落地。

问第二块碎片落在何处。

解：利用质心运动定理，在爆炸的前后，质心始终只受重力的作用，因此，质心的轨迹为一抛物线，它的落地点为c x 。

112212c m x m x x +=，而12m m m ==， 12c x x =，水平方向质心不变，总质心仍为c x ，所以c c c x x m mx m x x 2322122=⇒+=4-8．两个质量分别为1m 和2m 的木块B A 、，用一劲度系数为k 的轻弹簧连接，放在光滑的水平面上。

A 紧靠墙。

今用力推B 块，使弹簧压缩0x 然后释放。

（已知m m =1，m m 32=）求：（1）释放后B A 、两滑块速度相等时的瞬时速度的大小；（2）弹簧的最大伸长量。

解：分析题意，首先在弹簧由压缩状态回到原长时，是弹簧的弹性势能转换为B 木块的动能，然后B 带动A 一起运动，此时动量守恒，两者具有相同的速度v 时，弹簧伸长最大，由机械能守恒可算出其量值。

（1） 222200220121122m v kx m v m m v==+（） cc x所以：v ==； （2）22122022212121v m m kx v m ）（++=那么计算可得：021x x =4-9．如图所示，质量为m A 的小球A 沿光滑的弧形轨道滑下，与放在轨道端点P 处(该处轨道的切线为水平的)的静止小球B 发生弹性正碰撞，小球B 的质量为m B ，A 、B 两小球碰撞后同时落在水平地面上．如果A 、B 两球的落地点距P 点正下方O 点的距离之比L A / L B=2/5，求：两小球的质量比m A /m B ．解：A 、B 两球发生弹性正碰撞，由水平方向动量守恒与机械能守恒，得B B A A A A m m m v v v +=0 ①2220212121BB A A A A m m m v v v += ② 联立解出 0A B A B A A m m m m v v +-=， 02A BA AB m m m v v +=由于二球同时落地，∴ 0>A v ，B A m m >；且B B A A L L v v //= ∴52==B A B A L L v v ， 522=-A B A m m m 解出 5/=B A m m答案：5/=B A m m 。

4-10．如图，光滑斜面与水平面的夹角为30=α，轻质弹簧上端固定．今在弹簧的另一端轻轻地挂上质量为 1.0M kg =的木块，木块沿斜面从静止开始向下滑动．当木块向下滑30x cm =时，恰好有一质量0.01m kg =的子弹，沿水平方向以速度200/v m s =射中木块并陷在其中。

设弹簧的劲度系数为25/k N m =。

求子弹打入木块后它们的共同速度。

解：由机械能守恒条件可得到碰撞前木块的速度，碰撞过程中子弹和木块沿斜面方向动量守恒，可得：22111sin 22Mv kx Mgx α+= 10.83/v m s ⇒= (碰撞前木块的速度) 再由沿斜面方向动量守恒定律，可得： 1cos Mv mv m M v α'-=+（） 0.89/v m s '⇒=-。

4-11． 水平路面上有一质量15m kg =的无动力小车以匀速率02/v m s =运动。

小车由不可伸长的轻绳与另一质量为225m kg =的车厢连接，车厢前端有一质量为320m kg =的物体，物体与车厢间摩擦系数为2.0=μ。

开始时车厢静止，绳未拉紧。

求：(1)当小车、车厢、物体以共同速度运动时， 物体相对车厢的位移；(2)从绳绷紧到三者达到共同速度所需时间。

(车与路面间摩擦不计，取g =10m /s 2) 解：（1）由三者碰撞，动量守恒，可得：v m m m v m '++=）（32101 2.0='⇒v m s ，再将1m 与2m 看成一个系统，由动量守恒有：v m m v m )(2101+= s m v m m m v 31255250211=+⨯=+=，对3m ，由功能原理有：2231212311()22m gs m m v m m m v μ'=+-++（）m g m v m m m v m m s 60121)(213321221='++-+=μ）（ ； （2）由t g m μv m 33='，有：s g μv t 1.0102.02.0=⨯='=。

4-12．一质量为M 千克的木块，系在一固定于墙壁的弹簧的末端，静止在光滑水平面上，弹簧的劲度系数为k 。

一质量为m 的子弹射入木块后，弹簧长度被压缩了L 。

(1)求子弹的速度；(2)若子弹射入木块的深度为s ，求子弹所受的平均阻力。

解：分析，碰撞过程中子弹和木块动量守恒，碰撞结束后机械能守恒条件。

（1）相碰后，压缩前：v M m mv '+=）（0，压缩了L 时，有：222121kL v M m ='+）（，计算得到：）（M m k mLv +=0，0'mv v m M ==+（2）设子弹射入木快所受的阻力为f ，阻力做功使子弹动能减小，木块动能增加。

222201112222M k L f s mv mv Mv m ''=-=-∴22M k L f ms=4-13．质量为M 、长为l 的船浮在静止的水面上，船上有一质量为m 的人，开始时人与船也相对静止，然后人以相对于船的速度u 从船尾走到船头，当人走到船头后人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来了。

设船在运动过程中受到的阻力与船相对水的速度成正比，即f k v =-。

求在整个过程中船的位移x ∆。

分析：将题中过程分三段讨论。

（1）设船相对于静水的速度为()v t ，而人以相对于船的速度为u ，则人相对于静水的速度为()u v t +，开始时人和船作为一个系统动量之和为零。

由于水对船有阻力，当人从船尾走到船头时，系统动量之和等于阻力对船的冲量，有：1I =()[()]M v t m u v t ++，此时，()v t 方向u 方向相反，船有与人行进方向相反的位移1x ；（2）当人走到船头突然停下来，人和船在停下来前后动量守恒，有：()[()]()'M v t m u v t M m v ++=+，'v 为人停下来时船和人具有的共同速度，'v 方向应于原u 方向相同；（3）人就站在船头上，经长时间后，人与船又都静止下来，表明最后人和船作为一个系统动量之和又为零，则这个过程水阻力对船的冲量耗散了系统的动量，有：2()'I M m v =+，船有与人行进方向相同的位移2x 。