初中数学竞赛教程Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998七年级 第一讲有理数（一） 一、【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m n（0,,n m n ≠互质）。

4、性质：①顺序性（可比较大小）；②四则运算的封闭性（0不作除数）；③稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：①(0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩②非负性2(||0,0)a a ≥≥ ③非负数的性质：i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：1．如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（）A.相反数B.倒数C.绝对值D.平方2.已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

3.如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（）2a 2a -2b 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b------中有几个负数 5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a，b 的形式，求20062007a b +。

6.三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac=+++++则321ax bx cx +++的值是多少 7.若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

第二讲有理数（二）一、【能力训练点】：1、绝对值的几何意义①|||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

②||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：1．若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-2．试化简|1||2|x x +--3.若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

4.已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

5．若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

6.如果0abc ≠，求||||||a b c a b c++的值。

7.x 是什么样的有理数时|(2)(4)||2||4|x x x x -+-=-+-等式成立第三讲有理数（三）一、【能力训练点】：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：①凑整（凑0）；②巧用分配律③去、添括号法则；④裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：1．计算：237970.71 6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2．1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++-----1111()2341996⨯++++ 3．计算：2222222221314112131411n n S n ++++=++++---- 4.比较1234248162n n n S =+++++与2的大小。

5.计算（1）1111142870130208++++（2）222133599101+++⨯⨯⨯ 第四讲代数式（一）一、【能力训练点】：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、【典型例题解析】：1.求代数式的值：（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b-+++-的值。

（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。

（3）已知113b a -=，求222a b ab a b ab---+的值。

（4）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。

（5）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B 的值。

（6）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。

（7）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。

2.已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。

3.当250(23)a b -+达到最大值时，求22149a b +-的值。

4.若,,a b c 互异，且x y a b b c c aZ ==---，求x y Z ++的值。

5.已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。

6.已知1abc =，求111a b c ab a bc b ac c ++++++++的值。

7.已知1ab =，比较M 、N 的大小。

1111M a b =+++，11a b N a b=+++。

8.已知210x x --=，求321x x -+的值。

9.已知x y z K y z x z x y===+++，求K 的值。

10.5544333,4,5a b c ===，比较,,a b c 的大小。

11.已知22350a a --=，求432412910a a a -+-的值。

第五讲一元一次方程（一）一、【能力训练点】：1、等式的性质。

2、一元一次方程的定义及求解步骤。

3、一元一次方程的解的理解与应用。

4、一元一次方程解的情况讨论。

二、【典型例题解析】：1.能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=-，为什么反之，能否从32b x a +=-得到(2)3a x b -=+，为什么 2.若关于x 的方程2236kx m x nk +-=+，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。

3.若5545410(31)x a x a x a x a +=++++。

求543210a a a a a a -+-+-的值。

4.已知1x =是方程11322mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。

5.关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。

6.关于x 的一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式200()(2)m x x m m +-+的值。

7.解方程200612233420062007x x x x ++++=⨯⨯⨯⨯ 8.当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=，①有一解；②有无数解；③无解。

第六讲一元一次方程（2）一、【能力训练点】：1、列方程应用题的一般步骤。

2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、【典型例题解析】1．要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克2．一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天3．某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个元售出，结果仍获利元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋4．一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数5．一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的13后，用水加满，第二次倒出它的12后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。

6.某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算租几辆车7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水第七讲：线段和角【能力训练点】：数线段——数角——数三角形问题1、直线上有n个点，可以得到多少条线段分析：点线段2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4615=1+2+3+4+5……n1+2+3+…+(n-1)=()21-nn问题2．如图，在∠AOB内部从O点引出两条射线OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个(A)3(B)4(C)5(D)6拓展：1、在∠AOB内部从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个射线角13=1+226=1+2+3310=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n+1)=()()221+ +nn类比：从O点引出n条射线图中小于平角的角共有多少个射线角2133=1+246=1+2+3510=1+2+3+4……n1+2+3+…+(n-1)=()21-nn类比联想：如图，可以得到多少三角形（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点图形语言：M几何语言：∵M是线段AB的中点∴12AM BM AB==，22AM BM AB==【典型例题】：1．由下列条件一定能得到“P是线段AB的中点”的是（）（A）AP=21AB（B）AB＝2PB（C）AP＝PB（D）AP＝PB=21AB2．若点B在直线AC上，下列表达式：①ACAB21=；②AB=BC；③AC=2AB；④AB+BC=AC．其中能表示B是线段AC的中点的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3.如果点C在线段AB上,下列表达式①AC=12AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB中,能表示C是AB中点的有()个个个个第八讲：与三角形有关的线段一、【能力训练点】：1．三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC中，a+b>c,b+c>a,c+a>b（两点之间线段最短）由上式可变形得到：a>c－b，b>a－c，c>b－a即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。