+ A(1+i)n-2 +
t —1 .
...
+
A(1+i)1
+
A(1+i)0
35
t =1
普通年金终值＝年金×年金终值系数
∑ n (1+i)t—1=(1+i)n—1
t=1
i
(1+i)n—1
FV=C×
=C×FVI,FnAi
i
(Future Value Interest Factor for Annuity )
$1.30
$1.30×(1.05) $1.30 ×(1.05)2
…
0
1
2
3
$1.30
PV =
=$2.600
0.1—00.05.
34
普通年金（后付年金）
❖ 普通年金是指每期期末收付的年金，又称后付年金。 ❖ 终值的公式:
0
1
2nAA来自Ai%FVAn
∑(1+i) FVAn =
= A*
A(1+i)n-1 n
FV =C0×(1+r)T $5,0 00 =$ 0 5,00 × (1 0 +r)12 (1+r)12=$50,000=10 (1+r)=10112
$5,000
r大约为21.15%.
.
12
FVn=PV*FVIFr,t=5000*FVIFr,1内2 插法
FVIFr,12=10
利息率
系数
20
8.9161
.
21
(1+EA)R3 =$70.93 $50
$70.9313
EAR=
— 1=0.1236
$50
❖ 因此，以12.36%的利息率每年计息一次和以12% 的利息率每半年计息一次所得到的价值是相同的
实际利 率与名 义利率
rm EAR=（1+ ） — 1
m
.
22
连续复利
一年内
rm EAR=（1+ ）— 1
m
当复利次数m趋近于无限大的值时，即形成 连续复利
EAR
=
lim （1 +
m→ ∞
r m
m
）— 1
=
e r—1
.
23
❖ 连续复利的终值公式可以写为：
FV = C0×erT 其中：C0为时期0的现金流
r为名义年利率
T为年数
e为一常数，其值约为2.718。
.
24
6.3 年 金 (Annuity)
10万
.
37
❖ 假设某企业有一笔4年后到期的借款，数额为 1000万元，年复利率10%，每年计息一次， 为了到期一次还清借款，问每年年末应存入 的金额是多少？
1000= C×FVIFA 10%，4 = C×4.6410 C=215.4(万元)
.
38
❖ 某企业拟购置一台柴油机，更新目前使用的 汽油机，每月可节约燃料费用60元，但柴油 机价格较汽油机高出1500元，问柴油机应使 用多少年才合算？（假设利率12%，每月复 利一次）？
存本取息：PV*R=. A
30
❖ 如果一股优先股，每季分得股息2元，而利率 是每年6%。对于一个准备买这种股票的人来 说，他愿意出多少钱来购买此优先股？
.
31
永续增长年金 ——股利固定增长模型
❖ 每期以固定的增长率增长，且增长趋势将会 永久持续下去的一系列现金流。
.
32
C0
C1 C1 ×(1+g) C1 ×(1+g)2
现取得的$10000是确切无疑的。 会增值！
无风险！
.
2
❖ 今天存入100元，10年后能取出多少钱？
❖ 打算在10年后取出500元，那么现在需要存 入多少钱？
❖ 现在每年往银行存入60元，则8年后能取出多 少钱？
❖ 现在从银行贷款60万元，则在30年的还款期 限内，每年需偿还贷款多少元？
❖ 假定当前银行存贷款利率均为10%。
.
15
$10,000 NPV=— $9,500+
1.05 = — $9,500+$9,523.81 = $23.81
现金流入的现值大于成本。也就是说，净现 值为正。因此，该投资项目是可以接受。
.
16
6.1 估价：多次收付款项
❖ 假定有一项投资，一年后向你支付$200，以 后逐年增加$200，期限为4年。如果利息率为 12%，计算该项目现金流的现值？
.
39
0
A(1+i)—1
A(1+i)—2 A(1+i)—3
后付年金现值的公式
A
A
A
1
2
3
AA n- 1 n
A(1+i) —(n—1)
A(1+i)—n
∑ n A(1 + i)—t
.
40
t =1
普通年金现值＝年金×年金现值系数
∑n 1 t=1 (1+r)t
1—
1
(1+r)t
=
r
1—(1+r)—t
PV=C×
10万 10万 10万 10万
实际中: 折旧; 利息.
你能举出几例吗?
学生贷款偿还; 汽车贷款偿还; 住房贷款偿还
抵押贷款偿还; 养老储蓄
.
25
❖ 年金是指等额、定期、同向的系列收支。 ❖ 年金按付款方式可分为：
后付年金(普通年金)：发生在期末 先付年金：发生在期初 递延年金：延迟一定时期后才发生现金流量 永续年金：有始无终的现金流量
年金：连续发生在一定周期内的等额的现金流量
利率或折现率：资本机会成本
现金流量预期增长率
收到或付出现金流量. 的期数
6
❖ 相关假设 ： （1）现金流量均发生在期末
（或：现金流出在期初，现金流入在期末）；
（2）决策时点为t=0，除非特别说明，“现在”即 为t=0；
.
7
单利的计算
（1）概念：只按本金计息
.
36
❖ 5年中每年年底存入银行100元，存款利率为 8%，求第5年末年金终值。
❖ FV=100 × FVIFA 8%,5 = 586 .7(元)
❖ 假设某项目5年建设期内每年年末向银行借款 100万元，借款利率为10%，问该项目竣工 时应付本息的总额是多少？
❖ FV=100 × FVIFA 10%,5 = 610 .51(万元)
A：复利终值的计算公式：
FVn=C0×(1 + r)T=PV*FVIFr,t C0为期初的现金流 r，i为利率
n, T为计息次数
.
9
B：复利现值的计算公式：
PV ==F(1V+Cntr*)Pt VIFr,t
例：当利息率为15%时，为了5年后得到$20,000，
现在需要投资多少？
PV
$20,000
0
100 = C×PVIFA 8%，3 = C×2.5771 C=100/2.5771=38.8(万元)
.
43
延期年金（递延年金）
❖ 指第一次支付发生在第二期或第二期以后的年金。
❖ 终值:与递延期无关，计算方法同普通年金。
❖ 现值有两种算法： ❖ VO=A × PVIFA r,t × PVIF r,m ❖ VO= A × (PVIFA r,m+t - PVIFA r,m )
增长年金 永续增长年金
.
26
简单的名词解释
❖ 永续年金 每期金额相等，且永无到期期限的一系列 现金流
❖ 永续增长年金 每期以固定的增长率增长，且增长趋势将 会永久持续下去的一系列现金流
.
27
❖ 年金（后付年金、延期年金、先付年金） 一系列有规律的、持续一段固定时期的等 额现金流
❖ 增长年金 在一定时期内每期以固定的增长率增长的 一系列现金流
P0 V
20000
(2)查表，i=10%，找到相邻两个系数，分别 为
n1=16,r1=4.5950 n2=17,r2=5.0545
(3)应用“内插法”计算计息期
n=16.88年
.
14
净现值:NPV
❖ 净现值（NPV）为一项投资预期现金流的现 值减去投资的成本。
❖ 假定你现在投资$9,500，一年后你可以获得 $10,000，当利息率为5%时，你是否接受该 投资项目？
.
44
❖ 某企业年初存入一笔资金，从第4年年末起每 年取出1000元，至第9年末取完，年利率为 10%。计算最初一次存入的款项是多少钱？
.
45
某公司拟购置一处房产，房主提出两种付款方案： (1)从现在起，每年年初支付20万元，连续支付10次; (2)从第5年开始，每年年初支付25万元，连续支付10
12%----名义利率r：以年为基础计算的利率
.
20
实际年利率
❖ 在上例中，该投资的实际年利率为多少？ 实际利率（年有效利率，effective annual rate，
EAR ）——将名义利率按不同计息期调整后的利率
$5× 0(1+EA )3= R $7.0 93
❖ 实际年利率就是使得我们在3年后可以得到相同投 资价值的年利息率。
…
0
1
2
3
PV =(1C + 1r)+C 1 (1 × + (1 r+ )2 g)+C 1(× 1(+ 1r + )g 3)2+
PV= C1 =C0×(1+g)
r— g r— g
.
33
例：预期下一年的股利为$1.30，且每年的增 长率为5%，并永久持续下去。如果贴现率为 10%，计算该系列股利的价值？