高一数学对数以及对数函数人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容：
对数以及对数函数
二. 学习目标：
1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。

2. 能正确利用对数性质进行对数运算。

3. 掌握对数函数的图象性质。

4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。

三. 重点、难点： 1. 对数
（1）对数恒等式
① b a b
a =log （10≠<a ）
② N a
N
a =log
③ 1log =a a
④ 01log =a
（2）对数的运算性质
对于10≠<a ，M 0>，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log +=
② N M N M
a a a
log log log -=
[例
（1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+
（2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662
6÷⋅+-
解：
（1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22
22=+--+-=
（2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662
66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62
6266÷-++-=
12
log 2
log 2log )3log 1(2662
66==
÷-=
[例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z
y
x
643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。

解：设t z
y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而
4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4
lg 3lg 3
lg 44lg 3lg ⋅-=t 0)3lg 4(lg 4
lg 3lg lg 43<-⋅=
t
故y x 43<
又由6lg 4lg )
4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464⋅-=-=-=-t t t t t z y 6
lg 4lg )
4lg 6(lg lg 232⋅-=t
而0lg >t ，04lg >，06lg >，3
2
4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<<
[例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。

解：由n
m n m 55log 1
log 15log 5log >
⇔
>0log log log log 5555>⋅-⇔n m m n ⎩⎨⎧>⋅>-⇔0log log 0log log 5555n m m n 或⎩⎨⎧<⋅<-0log log 0
log log 55
55n m m n
⎩⎨
⎧>>>⇔1,1n m m n 或⎩⎨⎧<<<<<1
0,10n m m
n
综上可得1>>m n 或10<<<m n 或m n <<<10。

[例4] 试求函数)
32lg(4
)(22-+-=x x x x f 的定义域。

解：由⎪⎩
⎪⎨⎧≠-+>-+≥-0)32lg(03204222x x x x x ⎪
⎩⎪⎨⎧±-≠>-<≥-≤⇔511322x x x x x 或或
则所求定义域为（∞-，51--）⋃（51--，3-）⋃),2[∞+ [例5]（1）若函数)1lg(2
++=ax ax y 的定义域为实数集R ，求实数a 的取值范围；（2）若函数)1lg(2
++=ax ax y 的值域是实数集R ，求实数a 的取值范围。

解：
（1）由已知，则有012
>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧>=⇔010a 或⎩⎨⎧<-=∆>0
40
2
a a a 40<≤⇔a
（2）已知等价于函数12
++ax ax 的值域包含（0，∞+），故400
≥⇔⎩⎨
⎧≥∆>a a
[例6] 已知函数x x f a log )(=，当210x x <<时，试比较)2
(2
1x x f +与
+)([2
1
1x f )](2x f 的大小。

解：]log [log 2
12log )]()([21
)2(21212121x x x x x f x f x x f a a a +-+=+-+
2121log 2log x x x x a a -+=2
12
12log x x x x a += 又由210x x <<，则21212x x x x >+，即122
121>+x x x x
故① 1>a 时，02log 2
121>+x x x x a
，此时)]()([21
)2(
2121x f x f x x f +>+ ② 10<<a 时，02log 2
121<+x x x x a ，此时)]()([2
1
)2(
2121x f x f x x f +<+
【模拟试题】
1. =+16lg 2
1
210。

2. 若5log log 2
48=+b a ，且7log log 248=+a b ，则=ab 。

3. 已知1>>b a ，3
10
log log =+a b b a ，则a b b a log log -= 。

4. 函数82log 22
1
-+=x x y 的递增区间为 。

5. 已知x x f 3log 2)(+=，]9,1[∈x ，求函数)()]([2
2
x f x f y +=的最大值及相应的
x 的值。

试题答案
1. 20
2. 512
3. 3
8- 4. 解：)82(log 21
22
1-+=
x x y ，令40822-<⇔>-+x x x 或2>x 由822
-+=x x u 的递减区间为（∞-，4-），（0>u ） 则82log 22
1
-+=x x y 的递增区间为（∞-，4-）
5. 解：x x f 3log 2)(+=
)()]([2
2x f x f y +=2323log 2)log 2(x x +++= 3)3(log 2
3-+=x
由)(x f 定义域为[1，9]，则319
19
12≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤≤≤x x x
故1log 03≤≤x ，所以133)3(log 62
3≤-+=≤x y 当1log 3=x ，即3=x 时13=y
故当3=x 时，函数)()]([2
2
x f x f y +=取最大值13。