第3讲：对数及其运算【复习要求】1、理解对数的意义，会熟练地将指数式与对数式互化；2、初步学会换底公式的基本运用；3、掌握积、商、幂的对数性质。

会用计算器求对数。

【知识要点】1、对数的定义：如果(01)a a a >≠且的b 次幂等于N ，那么b 称为以a 为底N 的对数，记作：log a b N =，其中a 称为底数，N 称为真数。

2、指数式与对数式的互化：log b a a N N b =⇔=；3、对数恒等式：N aNa =log （0,01N a a >>≠且）。

4、换底公式及衍生性质：()1 log log log m a m NN a= (0a >,1a ≠，0m > , 1m ≠,0N >)()2a b b a log 1log =，()3c c b a b a log log log =⋅， ()4b nm b a ma n log log =5、对数的运算性质：如果0,1,0,0a a N M >≠>>有log ()log log a a a MN M N =+； log log log aa a MM N N=-； log log n a a M n M =；1log log a a M n=【基础训练】1、如果2(0,1)a b b b =>≠，则有 （ D ） （A ）2log a b = （B ）2log b a = （C ）log 2a b = （D ）log 2b a = 2、若2521log 3log 3m =+，则有 （ B ） （A ）12m << （B ）23m << （C ）34m << （D ）45m << 3、已知：25lg m =，则lg 2= 112m -（用m 表示）4、计算：（1）lg 4lg9++= 2 （2）223412223log (8log 16)log log +-= 605、若2log 1a <，则正数a 的取值范围是 02a <<【典型例题】类型1、对数与指数的互换例1、将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）712128-=； （2）327a =； （3）1100.1-=； （4）12log 325=-； （5）lg0.0013=-； （6）ln100=4.606.例2、（1）设log 2a m =，log 3a n =，求2m n a +的值.（2）设{0,1,2}A =,{log 1,log 2,}a a B a =，且A B =，求a 的值.类型2、对数的四则运算例3、若*01,0,a a x y n N ≠∈＞，＞＞，则下列各式：①(log )log n a a x n x =；②(log )log n n a a x x =；③1loglog a a x x =-；④log log log a a a x x yy=； 1log a x n =；⑥log log a a xn =log log nn a a x x =；⑧log log a a x y x y x y x y-+=-+-；其中成立的有_____________；答案：③⑥⑦⑧例4、化简与求值： （1）log log a bb ca⋅；（2）2log -； （3）222lg5lg8lg 5lg 20(lg 2)3++⨯+ （4答案（1）c ；（2）12；（3）3；（4）12【补充练习】计算（1）2log =32（2）33lg 2lg 53lg 2lg5++= 1 例5、若[][]345435log log (log )log log (log )0a b ==，则ab=__________； 答案：435;55a a b b==⇒= 例6、已知函数()f x 满足“当4x ≥时，1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当4x ＜时，()(1)f x f x =+”，则2(2log 3)f +=_________； 答案：124例7、（1）方程lg lg(3)1x x ++=的解x =________；（2）设12,x x 是方程2lg lg 0x a x b ++=的两个根，则12x x 的值是 .例8、已知lg lg 2lg(2)a b a b +=-，求4log ab的值； 答案：先求出：a b =（舍）或4a b =，从而4log 1ab=类型3、对数的恒等式与换底公式的应用例9、若83log 3,log 5p q ==，则lg 5=________； 答案：3333log 5113log 8log 2lg 53log 1013pqp p pq=⇒=⇒==+； 例10、已知18log 9a =，185b=，试将36log 45用,a b 表示；【解】方法一、利用指数对数互换转化为指数式：189;1854518a b a b+==⇒=令36log 45x =从而181836451836()1833xa bx x a b ++⇒==⇒=⋅=亦即218189x a b x +=⋅(18)1818a x a b ax a b +++=⋅=22a b x ax a b x a+⇒=++⇒=-；方法二、换成对数式，然后利用换底公式，换成18为底的对数计算问题； 方法三、化成10为底的形式；方法二略简单例11、若78log 2,log 14k =求的值。

(kk 31+) 变式练习：（1）设276log 12,log 16a =求的值。

(13412+-a a )（2）若14log 7,145b a ==，求35log 28的值。

(ba a+-2) 例13、若2510a b ==，则11a b+= .例14、（1）化简：532111log 7log 7log 7++； （2）设23420052006log 3log 4log 5log 2006log 4m ⋅⋅⋅=，求实数m 的值.【变式练习】1、 如果方程2lg (lg 5lg 7)lg lg 5lg 70x x +++=的两根是αβ、，求αβ的值。

(351) 2、 若221,1,log log 64a b a b >>⋅=，求2log ()ab 的最小值.(16) 3、 设y y x y x y x 333log )3(log )3(log 2,03++=->>，求xy的值。

(8) 类型4、有关对数的混合运算的综合应用例15、解下列方程： （1）11(lg lg 3)lg 5lg(10)22x x -=--； （2）221log (231)1x x x --+=； （3）1331log (31)log (3)23x x --⋅-=； （4）23(lg )12lg 0.4 6.25x x +-=；答案：（1）15x =；（2）2x =；（3）13234log 10;log 3x x ==；（4）510;10x x ==【课后练习】A 组1．）.A. 1B. －1C. 2D. －22．25log ()a -（a ≠0）化简得结果是（ ）.A. －aB. a 2C. ｜a ｜D. a3．化简3log 1的结果是（ ）.A.12B. 1C. 2 4．已知32()log f x x =, 则(8)f 的值等于（ ）.A. 1B. 2C. 8D. 12 5．化简3458log 4log 5log 8log 9⋅⋅⋅的结果是 （ ）.A .1 B.32C. 2D.3 6．计算2(lg5)lg 2lg50+⋅＝ . 7．若3a ＝2，则log 38－2log 36＝ .8．（1）已知18log 9a =，185b =，试用a 、b 表示18log 45的值；（2）已知1414log 7log 5a b ==，，用a 、b 表示35log 28.9．在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度(/)v m s 和燃料的质量()M kg 、火箭（除燃料外）的质量()m kg 的关系是2000ln(1)Mv m=+. 当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达到10/km s ？B 组1、计算：（1）50.5551log 352log log log 1450+-= 2（2）1)log (3+＝ -2（3）711log 14227)-=2、已知正数x y z 、、满足：234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x y z ===，则x y z ++= 893、设lg ,lg a b 是方程22410x x -+=的两个实数根，则2(lg )a b的值为 2 4、已知集合{}22,,log ()A a b ab =和集合{}0,,B a b =相等，求实数a b 、的值。

(-1,-1) 5、（1）已知25log 3,log 2a b ==，试用a b 、表示30log 12。

（21b abb ab +++）（2）由3436a b==，求21a b+值。

（1） 6、若方程2lg(3)lg(3)(0,3)x x m x x -+-=-∈在内有唯一解，求实数m 的取值范围。

(3,0]{1}-。