第十章 贝叶斯决策分析

第一节 引言 第二节 贝叶斯Bayes定理 第三节 贝叶斯分析过程
第一节 引言
一、问题的提出



在实际进行决策时，我们一直强调要调查研究， 注意预测，以掌握机会，制订对策，明确结果， 改进决策过程，提高决策水平。 但在实际工作中，既有未掌握必要信息就匆忙 作出决策的现象发生，也有为一点小事就四出 调研的情况存在。前者忽略了信息对决策的价 值，后者又没有注意到获取信息本身也有个经 济性问题。那么，怎么权衡新信息带来的价值 是否能补偿为其支出的费用呢？ 贝叶斯决策原理为我们提供了解决策这类问题 的手段。
表1 大批量生产的销售估计
销售远景 θj θ1 θ2 θ3
概率 P(θj) 0.25 0.30 0.45
条件盈利 (百万元) 15 1 -6
表2 过去试销资料记录
条件概率 P(zi| θj) 调查结果 市场实 际情况
θ1 (盈)
0.65 0.25 0.10
θ2 (平)
0.25 0.45 0.30
二、全概率公式

设B1、B2、……Bn是基本空间Ω中的一 个互不相容的完备事件集，则对Ω中任一 事件A，有： n
P( A) P( ABi )
i 1 n
P( A | Bi ) P( Bi )
i 1
三、贝叶斯定理

贝叶斯定理主要用来研究事物发生的原 因，即要知道在A发生的条件下，某个 “原因”Bi发生的概率。这个概率又称验 后概率。
P(1 Z 2 ) 0.236 P( 2 Z 2 ) 0.509 P( 3 Z 2 ) 0.255

例：接前例（见P330）。 根据以往市场调查经验，调查结果的准 确程度见下表：
调查 条件概率 结果 P（Zj|Qi) 自然状态
Z1 Z2 Z3 （不确定） （销路好）（销路差） 0.10 0.10 Q1(销路好) 0.8 Q2(销路差) 0.10 0.75 0.15
调查为好z1
P(Z1|Q1)=0.8 P(Z2|Q1)=0.1 P(Z3|Q1)=0.1
例2：某厂在考虑是否大批量投入投产一种新产品税的决策， 根据以往经验，预计该产品大批量投入市场后有三种销售远 景，具体见下页表。因亏损的先验概率较大，故该厂还要研 究是否要采用“试销法”进行市场调查。 经财务部门预算，进行一次试销调查花费60万元。而试销所 得到的调查信息的可靠性是有限的，这有过去产品进入市场 的统计资料可供借鉴，见下页表。 试问在这种情况下是否值得应用试销的方式进行市场调查。
j 1 n
故有 : P( Z1 ) P( j ) P( Z1 j )
j 1 n
0.25 0.65 0.30 0.25 0.45 0.10 0.2825 同理可得: P( Z 2 ) 0.2650 P( Z 3 ) 0.4520
(2)按贝叶斯定理修正先验概率，其计算公式如下：
θ3 (亏)
0.10 0.15 0.75
Z1 Z2 Z3
1.进行验前分析: θ1(0.25) 1.35 2
15
1 -6
θ2(0.30)
θ3(0.45)
1.5 1
大批量生产
∥
不投产
0
2.进行后验预分析: (1)按全概率公式求边际概率，其计算公式为：
P( Z i ) P( j ) P( Z i j ) , i 1,2,3;
0.95 0.60 0.80 0.30 0.65 0.10 0.875
2.由贝叶斯公式可得：
P ( B1 ) P ( A | B1 ) P ( B1 | A) P ( A) 0.95 0.60 0.875 0.6514
同理可计算得：P(B2|A)=0.2743 P(B3|A)=0.0743
销路好(0.6）
3.6 1
采用新产品
3.6 2
8 -3 -4 10
销路差(0.4)
销路好(0.6）
∥
不采用新产品
1.6 3
销路差(0.4)
以期望作为标准，应选择行动方案“采用新产品”。
二、后验预分析



后验预分析的目的，是要确定在采取最后行动之前是 否值得去搜集附加信息(调查或抽样)。 具体步骤： 1.根据决策问题过去有关的资料或某些途径得到的类 似资料拟定搜集新息的新决策方案，通常在验前分析 结论的基础上画出新支路。 2.根据全概率公式求有关的边际概率，并根据贝叶斯 定理修正先验概率，由此得出的后验概率就是新决策 支路的概率分布。 3.计算新决策支路的期望值。 4.权衡新方案最终的期望值、先验分析的结论和搜集 新信息所必须支出的费用，再进行选择得出结论。
P( j Z i ) 故有 : P(1 Z1 )
P( j ) P( Z i j ) P( Z i ) P(1 ) P( Z1 1 ) P( Z1 )
,
i 1,2,3; j 1,2,3; 0.25 0.65 0.575 0.2825

同理可得：
P( 2 Z1 ) 0.266 P( 3 Z1 ) 0.159
第三节 贝叶斯分析过程


引：如前所述，贝叶斯分析包括四种类 型。但在实际的贝叶斯决策过程中，并 不一定全部包括这四种类型的分析，一 般情况是，进行验前分析，后验预分析 和验后分析。 如果调查经费可以忽略，则只需要进行 验前分析和验后分析，在时间、人力和 财力不允许搜集更完备的住处或者这种 搜集没有必要时，则常常只进行验前分 析。
第二节 贝叶斯(Bayes)定理
一、条件概率和乘法公式

条件概率的定义： 设A与B是基本空间Ω中的两个事件，且 P(B)>0，在事件B已发生条件下事件A的 条件概率P(A|B)定义为：P(AB)/P(B)，即：
P( AB) P( A | B) P( B)


乘法公式： 对任意两个事件A与B，有： P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A) 对任意三个事件A1，A2，A3，有： P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2) 依次可以推广到四个或更多的事件上去。
P(Q2)=0.4
调查为差z2
P(Z2|Q2)=0.75
调查为不确定z3 P(Q )P(Z |Q ) =P(Z Q )=0.06 2 1 2 3 2
P(Z3|Q2)=0.15
根据上图可计算各状态的全概率为： P( Z1 ) P( Z1Q1 ) P( Z1Q2 ) 0.52
P( Z 2 ) P( Z 2Q1 ) P( Z 2Q2 ) 0.36 P( Z 3 ) P( Z 3Q1 ) P( Z 3Q2 ) 0.12
(0.12) 3.0
Q2(0.077) -1.16 Q1(0.167)
7.66
Q2(0.833) Q1(0.167) Q2(0.833) Q1(0.50) Q2(0.50) Q1(0.50) Q2(0.50)
10
2.5
6
d1∥
d2
11
12
3.0








从以上决策分析过程可知： 若不作进一步调查研究，则采用方案1（即采用新产品） 可获期望利润3.60万元。 若进一步调查研究，则可获期望利润值6.84 万元。 当调查研究的费用小于6.84-3.60=3.24万元时，作进一步 的调查研究是值得的。 3.24万元为取得信息的价值，即信息价值。 所谓信息价值：指利用取得的信息进行决策所得到的期望 值减去没有这种情报而选取出的最优方案的期望值。 完全信息：是指在进行决策时，对于所有可能出现的自然 状态都可以提供完全确切的情报。 补充信息:是指通过各种手段如抽样调查、咨询等得到的 追加信息。 在进行补充信息的调查之前，还需要就是否值得进一步收 集补充信息的问题作出判断，并选择最佳的收集补充信息 的方案。该环节称为后验预分析
一、先验分析应用




例1(见课本P329） 某工厂要研究开发一种新型童车，首要的问题是要研 究这种新产品的销路及竞争者的情况。经过必要的风 险估计后，他们估计出： 当新产品销路好时，采用新产品可盈利8万元；不采用 新产品而采用老产品时，则因其他竞争者会开发新产 品而使老产品滞销，工厂可能亏损4万元。 当新产品销路不好时，采用新品就要亏损3万元，当不 采用新产品时就有可能用更多的资金来发展老产品可 获利10万元。 现确定销路好的概率为0.6，销路差的概率为0.4。
计算修正概率：
P (Q1 | Z1 ) P (Q1Z1 ) 0.48 0.923 P ( Z1 ) 0.52
P (Q2 Z1 ) 0.04 P (Q2 | Z1 ) 0.077 P ( Z1 ) 0.52 同理可得: P (Q1 | Z 2 ) 0.167 P (Q1 | Z 3 ) 0.50 P (Q2 | Z 2 ) 0.833 P (Q2 | Z 3 ) 0.50
例：一批产品来自三个工厂，通过调查得知：其中甲厂产 品合格率为95%，乙厂产品合格率为80%，丙厂产品合格 率为65%。这批产品中有60%来自甲厂，30%来自乙厂， 余下10%来自丙厂。 1.求这批产品的合格率。 2.若抽查出一产品为合格品，求这个产品来自甲厂的概率。 解： 1.记事件A=“产品合格”，B1=“产品来自甲厂”，B2=“产品 来自乙厂”，B3=“产品来自丙厂”。则据已知条件可知： P(A|B1)=0.95 P(A|B2)=0.80 P(A|B3)=0.65 P(B1)=0.60 P(B2)=0.30 P(B3)=0.10 则由全概率公式可知： P( A) P( B1 ) P( A | B1 ) P( B2 ) P( A | B2 ) P( B3 ) P( A | B3 )
3.6 2 3.6 1