4
′ p
D
薄壁圆筒的横截面面积:
n
A D

F

p D2
4

pD
A D 4
(2)假想用一直径平面将圆筒截分为二，并取 下半环为研究对象
"
p 直径平面
FN
O
FN

pl D sind plD
0
2
d
Fy 0 2 l plD 0
pD
几种受力情况下截取单元体方法：
P
P
Me B
Me
A
A P/A
B Me/Wn
a) 一对横截面， 两对纵截面
P Me
b) 横截面，周向 面，直径面各一对
C
Me
c) 同b)但 从上表面 截取
C

单元体上的应力分量
应力与应变分析
（1）应力分量的角标规定：第一角标表示应力 作用面(法线)，第二角标表示应力平行的轴，两角 标相同时，只用一个角标表示。
F 0
dA x dAcos sin xy dAcos cos yx dAsin sin y dAsin cos 0
n

x
利用三角中的倍角公式，根据上述平衡方程式，可以得到计算平 面应力状态中任意方向面上正应力与剪应力的表达式：
2
例:图示单元体，试求：=30o斜截面上的应力
40


20 30
解：1)


30
2
40

30 2
29.8MPa
40cos60
o

(
20)sin
60o




30 2
40sin
60o

(
20)cos60o

20.3MPa
[例] 分析轴向拉伸杆件的最大剪应力的作用面，说明低碳钢拉伸
主平面：单元体上剪应力为零的面；
主应力：主平面上作用的正应力，用1、2、3表示， 按1≥2≥3(根据大小排列).
z
z'
z
zy
zx
yz
xz
y y
x xy yx x
旋转
x' 1
3
2 y'
2、应力状态的分类
1)、空间应力状态:
三个主应力1 、2 、3 均不等于零
Z z
应力与应变分析
y
z X
O x
zx xy
yx
xz
O x
xy zx
x
xz yx
dz y
Y
dx
dy z y
应力角标规定： 第一角标表示应力作用面 (法线表示)，第二角标表 示应力平行的轴，角标相 同时只用一个角标表示.
二、应力状态分类(按主应力)
应力与应变分析
1. 基本概念

＝

x＋
2
y
＋ x－
2
y
cos2－ xysin2
＝
x－
2
y
sin2

xycos2

x y
2
x y cos 2 2
x s in 2

x y sin 2 2
x cos 2
37

x y
时发生屈服的主要原因。
n
解： y＝0，yx＝0。

x

根据平面应力状态任意斜截面上的正应力

x
和剪应力公式

＝

x＋
2
y
＋
x－
2
y
cos2－
xy sin 2

＝


x－
2
y
sin2
xycos2

＝
x
2
＋ x
2
cos2

＝

x
2
sin 2
当θ＝45º时，斜截面上既有正应力又有剪应力：
研究在各种不同的复杂受力形式下： 强度失效的共同规律
假定失效的共同原因
利用单向拉伸的实验结果
建立复杂受力时的强度条件 强度理论
拉伸
受力之前,表面的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了矩形，直角没有改变。
受力之前,表面斜置的正方形
FP
FP
受拉后，正方形变成了菱形。
这表明：拉杆的斜截面上存在剪应力。
扭转
y
2
第三节 平面应力状态分析
一、平面应力分析的解析法 1.平面应力状态图示：
y
x
x
x
x
yx xy y
xy yx y
平面应力状态的普遍形式如图所示 .
单元体上有x ,xy 和 y , yx
–3 方向角与应力分量的正负号约定
正应力
x
x
x 拉为正
x
压为负
剪应力
1)最大正应 力及方位


x

2
y
x
y
2
cos 2
xy sin 2


x
y
2
sin 2
xy cos 2
令:
d d


2[
x
y sin 2
2
xy cos 2 ]
0
tg 2 0



2 xy x
y

0 0
滑移线
低碳钢拉伸实验
韧性材料-低碳钢轴向 拉伸时为什么会出现 滑移线？
铸铁扭转实验
脆性材料-铸铁扭转时 为什么会沿450螺旋面 断开？
钢筋混凝土简支梁
以前的知识不能解释这些现象
问题的提出
问题1：同一点处不同方位截面上的应力不相同；
轴向拉伸杆件
F
横截面应力： F
A
斜截面应力：
F
cos2
解：纯剪应力状态下x＝y＝0 ，
根据公式：

＝


x＋
2
y
＋ x－
2
y
cos2－ xysin2

＝

x－
2
y
sin2

xycos2
yx
n
xy


xy
yx
纯剪应力状态
＝－ xysin2 ＝ xycos2
45o＝max＝- xy , 45o＝0
2
x y cos 2 2
x s in 2

x y sin 2 2
x cos 2
38
例:图示单元体，已知 x =-40MPa，y =60MPa， xy=-50MPa.试求 ef 截面上的应力情况
y
解: 求 ef 截面上的应力
30
（2）面的方位用其法线方向表示
根据材料的均匀连续假设，微元体各微面上的应力 均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向 相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系:
yz zy， zx xz， xy yx
正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应 力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。
y
1
4
2
z
3
x
S
l
F
FS
a
z2
T3
4 MZ
yy
FS
1
4
2
z
3
z2
4 MZ
x
T3
x
1 3
z
2
1

T Wt

x1

Mz Wz
2

T Wt

4FS 3A
x3
Mz Wz
3
T Wt
例: 分析薄壁圆筒受内压时的应力状态
m
n
y

p
z
D
ml n
(1)沿圆筒轴线作用于筒
底的总压力为F
F p D2
同。
横截面上的正应力分布 横截面上的剪应力分布
应力的面的概念：同一 点不同方向面上的应力 也不一定相同。
xy x
xy x
xy
yx x
应 力 指明
哪一个面上
哪一点？
哪一个点上 哪一方向面？
应力状态分析(analysis of stress-state)是用平衡的方法，分析过 一点、在不同方向面上的应力以及这些应力之间的相互关系， 并确定这些应力中的极大值和极小值以及它们的作用面。
Mx Mx
圆变为一斜置椭圆，长轴方向伸长，短轴方向缩短。
表明，轴扭转时，其斜截面上存在着正应力。
1.基本概念
（1）什么是一点的应力状态
一点的应力状态：
过一点处，即一微元所有方位面 上的应力集合，称为该点的应力状态。
围绕一点作一微小
单元体，即微元
为什么分析一点 的应力状态？
找出一点处沿不同方 向应力的变化规律， 确定出最大应力，从 而全面考虑构件破坏 的原因，建立适当的 强度条件。

x
平衡方程

Fn 0 F 0 yx
y
n

x
xy x

Fn 0
yx y
dA x dAcos cos xy dAcos sin
yx dAsin cos y dAsin sin 0
2)、平面应力状态:
三个主应力1 、2 、3 中有两个不等于零
3)、单向应力状态