S
S ;u ,, u
n 1 n
战略式表述更适合静态博弈， 对于两人有限博弈则可用矩阵来直观的给出
请根据描述建立诺曼底战役问题的博弈模型
如果给你两个师的兵力，由你来当司令，任务是攻克敌人 占据的一座城市，敌人的守备力量是三个师。双方的兵力 只能整师调动。通往城市的道路有甲、乙两条。当你发起 攻击时候，你的兵力超过敌人，你就获胜；当你的兵力少 于或与敌人兵力相等时，你就失败。那么，你将如何制定 攻城方案？
3.2 策略空间连续情形纳什均衡的分析
设 n 人博弈 G {S1,Sn ; u1,un } 的策略集都是实数的开 区间，并且支付函数都是可微的多元函数，在这种情况下， * * (s1 ,si*1 , si*1 ,... sn ) 如果一个策略组合 是这个博弈的纳什均 衡的话，那么它必须是方程组
3.3 混合策略纳什均衡分析
猜硬币博弈
猜硬币方 正 面 盖 硬 币 方 反 面 1， -1 -1， 1
正 面 反 面
-1， 1 1， -1
（1）不存在前面定义的纳什均衡策略组合 （2）关键是不能让对方猜到自己策略 这类博弈很多，还有哪些例子呢？
列参与人
s
1 s1
11
2 1
11
21
s
12
2 2
12 22
按 钮
食 槽
小猪
按 大猪 等待 按 等待
பைடு நூலகம்
5,1
9, -1
4,4
0,0
它的纳什均衡是(大猪按，小猪等）。
完全信息静态博弈的战略式表述 （又称标准式表述）
（1）博弈的参与人集合： i , (1,2,, n); （2）每个参与人的策略集合：S i , i 1,2,, n; （3）每个参与人的支付函数： ui (s1,, si ,, sn),i 1,2,, n. 则将用 G 1,, 代表战略式表述博弈
则参与人1的期望支付为


1
( p, q) pi q j aij
i 1 j 1 m n
m
n
则参与人2的期望支付为
2
( p, q) pi q j bij
i 1 j 1
混合策略纳什均衡
* * * 设 P* (P 是 n 人战略式博弈 G {S1,Sn ; u1,un } , , P , , P 1 i n)
例如：囚徒困境
囚徒困境博弈
优势策略均衡
乙
招
不招 0,-10 -1,-1
招
甲
-5,-5 -10,0
不招
它的纳什均衡是(招，招）。
注意概念：严格优势策略 弱优势策略 严格劣势策略 弱劣势策略
2）劣势策略逐次消去法（重复剔除的占优均略均衡） iterated elimination of strictly dominated strategies
足球 大海 芭蕾
2,1 0,0
0,0 1,2
本例有两种纳什均衡结果会出现，要么一 起去看足球，要么一起去看芭蕾舞，但在一次博 弈中究竟会出现哪一种？？？
左 上 下 1， 0
中 1， 3
右 0， 1
0， 4
0， 2
2， 0
囚 徒 困 境
-8， -8 -10， 0
0， -10 -1， -1
猜 硬 币
-1， 1 1， -1
严格劣势策略：不管其它参与人的策略如何变化，给 一个参与人带来的收益总是比另一种策略给他带来 的收益小的策略 劣势策略反复消去法：
左 上 下 1，0 0，4 中 1，3 0，2 右 0，1 2，0 左 1，0 0，4 中 1，3 0，2 左 1，0 中 1，3
智猪博弈 小猪 按 按 等待
大猪
等待
5,1 9, -1
Q q1 q2 P P(Q) 8 Q
求两厂商的均衡产量？
c1 c2 2
u1 q1P(Q) c1q1 q1[8 (q1 q2 )] 2q1 6q1 q1q2 q12
u2 q2 P(Q) c2q2 q2[8 (q1 q2 )] 2q2 6q2 q1q2 q22
典型博弈 请根据描述建立博弈模型
（1）囚徒困境
两个犯罪嫌疑人甲和乙联手作案，被警方逮住 但未掌握足够证据。警方将两人分别置于两间房间 分开审讯，政策是若一人招供但另一人未招，则招 者立即被释放，未招者判入狱 10 年；若二人都招则 两人各判刑 5 年 ; 若两人都不招则因证据不充分，只 能各判1年。
U1 x 2 z 2 xy 0 3 U 2 1 0 x yz y U 3 2 2 xyz 0 z
把求解出来的解带入二阶导数中，得到
x 1 y 1 z 1
2U 1 2 x 2 y 2 0 2 3 3 3 U 2 2 0 ( x y z) 2 y 2 2 2U 3 2 z 2 xy 2 0
1， -1 -1， 1
练习1：分析下面问题的纳什均衡
参与人2 L 参 与 人 1 T M B 2， 0 3， 4 1， 3 C 1，1 1，2 0，2 R 4，2 2，3 3，0
练习2： “最后归宿”博弈
参与人2 D E 3，1 2，2 2，3 F 0，2 3，2 2，2
参 与 人 1
A B C
2，2 1，3 2，0
则策略组合（1/2，1，1/4）下的支付分别是
U U U
1 2 3
(1 / 2,1,1 / 4) 5 / 4 (1 / 2,1,1 / 4) 1 / 4 (1 / 2,1,1 / 4) 1 / 4
二、纳什均衡及其分析思路
纳什均衡：在博弈 G {S1,Sn ; u1,un }中，如果由各个参与人
* * ,sn ) 的各一个策略组成的某个策略组合 (s1 中，任一参与人
* * 的策略，都是对其余参与人策略的组合 (s1 ,si*1 , si*1 ,...sn )
* * * * ,si*1, si* , si*1,...sn ) ui (s1 ,si*1, si , si*1,...s， 的最佳对策，即 ui (s1 n)
2 ( x , y , z ) 2 xz U1 x y
U 2 ( x, y, z ) 12( x y z ) y U 3 ( x, y, z ) 2 z xy z
分析该博弈的纳什均衡。
2
解：
maxU 1 ( x, y, z ) max(2 xz x2 y ) maxU 2 ( x, y, z ) max( 12( x y z ) y ) maxU ( x, y, z ) max(2 z xy 2) z 3
U i (S1 , Sn ) Si 0, i 1,, n
的解。
并且对于每一个
i
，都有
U
2

i
( S1 , S n )
2
Si
0, i 1,, n
例
设在一个3个参与人的博弈中，每个参与人的策略集都是正实数开区 间 (0, ) ，他们的策略变量分别是 x, y , z ，他们的支付函数分 别为
* * （ ui (si* , s ）对任意 s S i 都成立，则称 ) u ( s , s i i i i )
i
s
*
* * ( s1 , sn ) 为 G 的一个纳什均衡
通俗的讲：参与人（局中人）单独改变策略不会得到好处的 对局（策略组合），就叫做纳什均衡。
2.1 离散策略空间的博弈纳什均衡分析
问题：甲、乙如何选择？
乙
招 招 甲
不招
-5,-5 不招
-10,0
0,-10
-1,-1
它的纳什均衡是(坦白，坦白）。
（2） 智猪博弈
猪圈中有一头大猪和一头小猪，在猪圈的一端设有 一个按钮，每按一下，位于猪圈另一端的食槽中就会有 10 单位的猪食进槽，但每按一下按钮会耗去相当于 2 单 位猪食的成本。如果大猪先到食槽，则大猪吃到 9 单位 食物，小猪仅能吃到 1 单位食物；如果两猪同时到食槽， 则大猪吃7单位，小猪吃3单位食物；如果小猪先到，大 猪吃6单位而小猪吃4单位食物。请给出这个博弈的博弈 矩阵。
2 完全信息静态博弈
主要内容



一、博弈模型的构建 二、纳什均衡及其分析思路 三、多重纳什均衡及其分析 四、应用
一 从游戏到博弈：博弈模型的构建
博弈就是策略对抗，或策略起关键作用的游戏


博弈Game，博弈论Game Theory，Game即游戏、竞技 游戏和经济等决策竞争较量的共同特征：规则、结果、策 略选择，策略和利益相互依存，策略的关键作用 游戏——下棋、猜大小 经济——寡头产量决策、市场阻入、投标拍卖 政治、军事——美国和伊拉克、以色列和巴勒斯坦
你的方案： 集中两个师进攻甲 一个师进攻甲，一个师进攻乙 集中两个师进攻乙
敌人的方案： 三个师驻守甲 两个师驻守甲，一个师驻守乙 一个师驻守甲，两个师驻守乙 三个师驻守乙
敌人
A a 我军 －,＋ ＋,－
B －,＋ －,＋
C ＋,－ －,＋
D ＋,－ ＋,－
b
c
＋,－
＋,－
－,＋
－,＋
行 参 与 人
s1 2

a ,b a ,b
21
a ,b a ,b
22


2 sn
a ,b a ,b
1n 21
1n 21


m1

s1 m
a ,b
m1
i 1
a ,b
m2
i m
m2

a ,b