用拉伸法测量杨氏弹
性模量
用拉伸法测量杨氏弹性模量
任何物体在外力作用下都会发生形变，当形变不超过某一限度时，撤走外力之后，形变能随之消失，这种形变称为弹性形变。

如果外力较大，当它的作用停止时，所引起的形变并不完全消失，而有剩余形变，称为塑性形变。

发生弹性形变时，物体内部产生恢复原状的内应力。

弹性模量是反映材料形变与内应力关系的物理量，是工程技术中常用的参数之一。

一. 实验目的
1. 学会用光杠杆放大法测量长度的微小变化量。

2. 学会测定金属丝杨氏弹性模量的一种方法。

3. 学习用逐差法处理数据。

二. 实验仪器
杨氏弹性模量测量仪支架、光杠杆、砝码、千分尺、钢卷尺、标尺、灯源等。

三. 实验原理
在形变中，最简单的形变是柱状物体受外力作用时的伸长或缩短形变。

设柱状物体的长度为L ，截面积为S ，沿长度方向受外力F 作用后伸长（或缩短）量为ΔL ，单位横截面积上垂直作用力F ／S 称为正应力，物体的相对伸长ΔL ／L 称为线应变。

实验结果证明，在弹性范围内，正应力与线应变成正比，即
L L Y
S F ∆= （3-1-1） 这个规律称为虎克定律。

式中比例系数Y 称为杨氏弹性模量。

在国际单位制
中，它的单位为N ／m 2，在厘米克秒制中为达因/厘米2。

它是表征材料抗应变能力的一个固定参量，完全由材料的性质决定，与材料的几何形状无关。

本实验是测钢丝的杨氏弹性模量，实验方法是将钢丝悬挂于支架上，上端固定，下端加砝码对钢丝施力F ，测出钢丝相应的伸长量ΔL ，即可求出Y 。

钢丝长度L 用钢卷尺测量，钢丝的横截面积
42
d S π=
，直径d 用千分尺测出，力F
由砝码的质量求出。

在实际测量中，由于钢丝伸长量ΔL 的值很小，约mm 1
10-数量级。

因此ΔL 的测量采用光杠杆放大法进行测量。

光杠杆是根据几何光学原理，设计而成的一种灵敏度较高的，测量微小长度或角度变化的仪器。

它的装置如图3-1-1（a ）所示，是将一个可转动的平面镜M 固定在一个⊥形架上构成的。

图3-1-1（b ）是光杠杆放大原理图，假设开始时，镜面M 的法线正好是水平的，则从光源发出的光线与镜面法线重合，并通过反射镜M 反射到标尺n 0处。

当金属丝伸长ΔL ，光杠杆镜架后夹脚随金属丝下落ΔL ，带动M 转一θ角，镜面至M ′，法线也转过同一角度，根据光的反射定律，光线On 0和光线On 的夹角为2θ。

如果反射镜面到标尺的距离为D ，后尖脚到前两脚间连线的距离为b ，则有
b L
tg ∆=
θ ；
D n n tg 02-=θ 由于θ很小，所以
b L
∆=
θ ； D n n 02-=
θ 消去θ，得 ()n
D b D b n n L ∆=-=∆220 （n n n ∆=-0） （3-1-2）
由于伸长量ΔL 是难测的微小长度，但当取D 远大于b 后，经光杠杆转换后的量n ∆却是较大的量，2D /b 决定了光杠杆的放大倍数。

这就是光放大原理，它已
被应用在很多精密测量仪器中。

如：灵敏电流、冲击电流计、光谱仪、静电电压表等。

将（3-1-2）式代入（3-1-1）式得：
n b d D FL L S FL Y ∆=
∆=182π (3-1-3)
本实验使钢丝伸长的力F ，是砝码作用在纲丝上的重力mg ，因此杨氏弹性模量的测量公式为：
n b d mgLD Y ∆=
182π (3-1-4)
（a ） （b ）
1—反射镜和透镜；2—活动托台；3—固定托台；4—标尺；5—光源
图3-1-1 光杠杆装置及测量原理图
图3-1-2 测量装置图
式中，Δn 与m 有对应关系，如果m 是1个砝码的质量，Δn 应是荷重增（或减）1个砝码所引起的光标偏移量；如果Δn 是荷重增（或减）4个砝码所引起的光标偏移量，m 就应是4个砝码的质量。

四. 实验内容 1. 仪器调节
(1)按图3-1-2安装仪器，调节支架底座螺丝，使底座水平（观察底座上的水准仪）。

(2)调节反射镜，使其镜面与托台大致垂直，再调光源的高低，使它与反射镜面等高。

(3)调节标尺铅直，调节光源透镜及标尺到镜面间的距离D ，使镜头刻线在标尺上的像清晰。

再适当调节反射镜的方向、标尺的高低，使开始测量时光线基本水平，刻线成像大致在标尺中部。

记下刻线像落在标尺上的读数为n 。

注意：此时仪器已调好，在测量时不能再调了！ 2. 测量
（1）逐次增加砝码，每加一
个砝码记下相应的标尺读数i n ，共加8次，然后再将砝码逐个取下，记录相应的读数i ′，直到测出'
0为止。

加减砝码时，动作要轻，防止因增减砝码时使平面反射镜后尖脚处产生微小振动而造成读数起伏较大。

（2）取同一负荷下标尺读数的平均值7210n n n n Λ、、，用逐差法求出钢丝荷重增减4个砝码时光标的平均偏移量Δn 。

（3）用钢卷尺测量上、下夹头间的钢丝长度L ，及反射镜到标尺的距离D 。

（4）将光杠杆反射镜架的三个足放在纸上，轻轻压一下，便得出三点的准确位置，然后在纸上将前面两足尖连起来，后足尖到这条连线的垂直距离便是b 。

（5）用千分尺测量钢丝直径d ，由于钢丝直径可能不均匀，按工程要求应在上、中、下各部进行测量。

每位置在相互垂直的方向各测一次。

五. 数据处理
1.测量钢丝的微小伸长量，记录表如下 序号 i 砝码质量
M （Kg ） 光标示值n i (cm) 光标偏移量 δn=n i+4-n i (cm) 偏差 ∣δ（δn ）∣
增荷时 减荷时 平均值 0 1 2 3
（ ± ）2. 测量钢丝直径记录表 d 0= mm 测量部位
上 部
中 部 下 部 平均值 测量方向 纵 向 横向 纵 向 横 向 纵 向 横 向 d(mm)
不确定度=∆d mm
测量结果d=（ ± ）mm 3. 单次测L 、D 、b 值：
L=( ± )m ； D=( ± )m ； b=( ± )m
4. 将所得各量带入（3-1-4）式，计算出金属丝的杨氏弹性模量，按传递公式计算出不确定度，并将测量结果表示成标准式 =∆±=Y Y Y （ ± ）N ／m 2。

六.问题讨论
1. 两根材料相同，但粗细、长度不同的金属丝，它们的杨氏弹性模量是否相同？
2. 光杠杆有什么优点？怎样提高光杠杆的灵敏度？
3. 在实验中如果要求测量的相对不确定度不超过5%，试问，钢丝的长度和直径应如何选取？标尺应距光杠杆的反射镜多远？
4. 是否可以用作图法求杨氏弹性模量？如果以所加砝码的个数为横轴，以相应变化量为纵轴，图线应是什么形状？
附表：常用金属与合金的杨氏弹性模量
物质名称 杨氏弹性模量
(1011
达因/厘米2
)
物 质 名 称 杨氏弹性模量
(1011
达因/厘米2
)
铝 7.0 铸铜（99.9%）
7.44 铸铁（99.99%） 13.8 精炼或韧炼铜(99.99%)
8.00 韧炼铁（99.99%）
17.2 黄铜 11.0 钢
17.2～22.6 磷青铜 12.0 铂(韧炼 99.99%)
14.7 锰铜 10.3 钨 34 康铜 15.2 铅(模砂铸造99.73%)
1.38
镍铬
21.0。