表13-1所示。
【案例解析】
资料类型：定量资料 目的：了解糖尿病患者体内脂联素水平与BMI、
病程DY、瘦素LEP、空腹血糖FPG等因素的依 存关系；即多个自变量与一个因变量的关系。
多重线性回归
13.1.1 数据与模型
多重线性回归分析 muttiple linear regression
：研究的是多个自变量如何直接影响一个因变量。 即用回归方程的方式定量地描述一个因变量Y 和多个
测或控制另一个特定变量的取值，并给出这种预测或 控制的精确程度。
多重线性回归分析
13.1 多重线性回归的概念及其统计描述 13.2 多重线性回归的假设检验 13.3 复相关系数与偏相关系数 13.4 自变量筛选 13.5 多重线性回归的应用及注意事项
13.1 多重线性回归的概念 及其统计描述
例13.1 为了研究有关糖尿病患者体内脂联素水平的影响因素， 某医师测定了30名患者的BMI(kg/m2)、病程DY(年)、瘦素LEP (ng/ml)、空腹血糖FPG(mmol/L)及脂联素ADI(ng/ml)水平，数据如
表示在方程中其它自变量固定不变的情况下，Xj每增 加或减少一个计量单位，反应变量Y的平均变化 bi 个单 位。
13.1.2偏回归系数的估计
问题：对患者体内脂联素水平，哪个因素作用的大一点， 哪个小一些？
Yˆ b0 b1 X1 b2 X 2 ... bp X p
回归系数的标准化：
为了估计模型中的未知参数，需要从总体中随 机抽取一个样本，从而求得样本回归方程：
Yˆ b0 b1X1 b2 X2 ... bp X p
Yˆ是反应变量Y的总体平均值Y
X1，X 2，...，
的估计值
XP
b0：截距参数，常数项；是总体参数β0 的估计值。
bi：变量Xj的偏回归系数(partial regression coefficient)， 是总体参数βi 的估计值
自变量X1、 X2、 X3、… 、Xn 之间 的线性依存关系。
分 一元 线性回归：仅涉及1个因变量、反应变量。
类
多元线性回归 multivariate linear regression
：涉及多个因变量、反应变量时称~。
如何定量地描述两者的关系：
基本目的
用 1 个以上的自变量X，它们的数据来估计反应变量 Y，即脂联素水平及其变异性的统计学分析方法。
第十三章
多重线性回归与相关
李琳琳 博士 公卫学院统计教研室A510
生物医学研究领域中多因素相互作用现象非常普遍
身高：不仅受到遗传因素的影响，而且还受到营 养状况、体育锻炼情况、居住环境因素的作用；
血压：除了与年龄有关外，还与家族史、饮食习 惯、劳动强度等因素有关；
生存质量：受生理、心理、社会关系、环境等多 因素的影响。
1.自变量数据的标准化： 2.求标准化偏回归系数：
X
' i

Xi Xi Si
用标准化的数据进行回归模型的拟合，算出它的方程，
此时所获得的偏回归系数b’，叫~。
b’无单位，可用来比较各个自变量对反应变量的贡献大小
比较：
未标准化的回归系数（偏回归系数）：用来构 建回归方程，即方程中各自变量的斜率。
指任意两 个观察值 互相独立
在一定范围内任 在一定范围内，
意给定各个Ｘ值， 对应于不同X值，
则反应变量Ｙ服 Y总体变异保持
从正态分布
不变
11.2.2.2 回归参数的估计： 最小二乘估计
least square estimation
两个自变量时，回 归平面示意图
用最小二乘法拟合直线，使得反应变量观测值Yi与回归 方程求得估计值 Yˆ 之间的残差（样本点到直线的垂直距离)
标准化的回归系数：用于综合评价各解释变量 对因变量Y的贡献大小，标准化的回归系数越 大，说明X对Y 的影响幅度越大。
线性回归分析的前题条件
line
linear 线性
independent 独立性
normal 正态性
equal variance 等方差性
反应变量Y 的 总体平均值与 自变量组合之 间呈线性关系
估计参数：β0、 β1、 β2、…、 βP 回归方程的假设检验
最小二乘法 F 检验
回归系数 β的假设检验
t 检验
列出回归方程 Yˆ b0 b1X1 b2 X 2 ... bp X p
回归方程的统计应用
所以，拟合X1、X2 、X3 、X4关于患者脂联素水平的 多重线性回归方程，得：
假设检验
回归方程的假设检验（model test）：
目的：检验求得的回归方程在总体中是
否成立，即是否至少有一个βi≠ 0；
方法：单因素方差分析。
平方和达到最小。
由于自变量的增加计算量加大我们只 有借助计算机统计软件来完成
本例题的回归方程如下：
Yˆ 58.1991.030X1 0.132X2 0.811X3 0.579X4
问题：我们能不能根据回归方程下结论？
1性回归分析的基本步骤：
多重线性回归分析
回归分析的主要目的：
就是研究固定自变量X的情况下，因变量Y的总 体均数与X之间的回归关系；即：
从一组样本数据出发，确定变量之间的回归关系式； 对这些关系式的可信程度进行各种统计检验，并从影
响因变量的诸多变量中找出具有统计学意义的变量；
利用所求的关系式，根据一个或几个变量的取值来预
数模：Y X1， X2，...，X n 0 1X1 2 X2 ... p X p
β0：截距参数，是常数项。 βi：变量Xj的总体偏回归系数(partial regression coefficient)
表示在其它自变量固定不变的情况下，Xj每增加或减少一个 计量单位，反应变量Y的平均变化 βi 个单位，或说所引起应变 量Y的平均改变量为βi个单位。
Yˆ 58.1991.030X1 0.132X2 0.811X3 0.579X4
还需要解决的三个问题：
就总体而言，这种回归关系是否存在？即总体回归方程 是否成立？
回归方程的效果如何？也即这四个变量能解释反应变量 Y的百分比是多少？
四个自变量是否对反应变量Y的影响都有意义？
统计推断——假设检验