dy = − y / x ln y + ln x = c ； xy = C , C = 2 dx
7．人工繁殖细菌，其增长速度和当时的细菌数成正比。 1）如果过 4 小时的细菌数既为原细菌数的 2 倍，那么经过 12 小时应有多少？ 2）如在 3 小时的时候，有细菌 104 个，那么在开始时有多少个 细菌？ 解：1）
第一章 初等积分法
1.1 微分方程和解
1、指出下列微分方程的阶数： （1）
dy = y 2 + x 3 ；一阶二次 dx
d2 y d3 = x + 3 arcsin x ；二阶一次； dx 2 dx
3
（2）
（3） y
d2 y + 1 = 0 ；二阶四次； dx 2
1
⎛ dx ⎞ （4） ⎜ ⎟ = 4 ；一阶二次； ⎝ dy ⎠
2 2
10
( x −2 + x −1 )dx − ( y −2 + y −1 )dy = 0 ln | x | − x −1 − ln | y | + y −1 = C 得 C = −2
3、利用变量替换法把下列方程化为变量可分离方程： （1）
dy = f (ax + by + c) ； dx
解： u = ax + by + c ， u ' = a + by ' = a + bf (u ) （2）
2） ( y − 2 xy )dx + x dy = 0
2 2
解： x = 0 或 y ′ = 2 y / x + ( y / x) ；
2
z + xz ′ = 2 z − z 2 ⇒ xz ′ = z (1 − z )
18
z = 0, z = 1 ⇔ y = 0, y = x ，
或 ln( z − 1) − ln z = − ln x + c ， x( y − x) = Cx 3） ( x + y )
24
z ′ − 2 = ( z + 1) /(2 z − 3) ⇒ z ′ = 5( z − 1) /(2 z − 3)
9
因此 y (ln | x − 1 | +1) = 1
2
3） y ′ = 3 3 y , y (2) = 0
2
解： y = 0 或 y = ( x + C ) 得 C = −2 ，
3
⎧( x + C ) 3 , x ≥ C y=⎨ (C ≥ 2) ,x <C ⎩0
4） ( y 2 + xy 2 )dx − ( x 2 + yx 2 )dy = 0, y (1) = −1 解：整理原方程得 y (1 + x)dx − x (1 + y )dy = 0 ；
u + g (u )u ' = 0 。 x
12
4、求解方程 x 1 − y dx + y 1 − x dy = 0
2 2
解： | x |= 1, (| y |≤ 1)或 | y |= 1, (| x |≤ 1)
xdx 1− x
2
+
ydy 1− y
2
= 0 ； 1 − x2 + 1 − y2 = C
方程
⎛ a x + b1 y + c1 ⎞ dy = f⎜ 1 ⎟， dx ⎝ a2 x + b2 y + c2 ⎠
1） a1 : b1 ≠ a2 : b2 ，
⎧a1 x0 + b1 y0 + c1 = 0 ；令 u = x − x0 , v = y − y0 ⎨ ⎩a2 x0 + b2 y0 + c2 = 0
dy = y 2 cos x dx
解： y ≡ 0 ，或
dy 1 = cos xdx ； − = sin x + C 2 y y
2．求下列方程满足给定初始条件的解：
dy = y ( y − 1), y (0) = 1 dx dy 解：首先考虑 = y ( y − 1) ；显然 y = 0 或 y = 1 为它的特解 dx
17
1．解下列方程： 1） ( x + 2 y )dx − xdy = 0 解： x ≡ 0 ，或
dy y y dz = 1 + 2 ，令 z = 得z+x = 1 + 2z dx dx x x dz dx = ⇒ ln(1 + z ) = ln x + c ; x + y = Cx 2 变量分离， 1+ z x
（4） f ( xy ) y + g ( xy ) xy ' = 0 ， f (u ) ≠ g (u ) ， f , g 连续。 解： u = xy ， u ' = y + xy ' ， f (u )
u u⎞ ⎛ + g (u ) ⎜ u '− ⎟ = 0 ， x x⎠ ⎝
( f (u ) − g (u ) )
z + xz ′ = z + tan z ⇒ z ′ = tan z / x; z = kπ ⇒ y = kπ x ，
sin z = Cx ⇔ sin y = Cx x
20
5） xy ′ − y = ( x + y ) ln
x+ y x
解： y ′ = y / x + [1 + ( y / x)]ln(1 + y / x) ；
1）
8
另外，当 y ≠ 0 且 y ≠ 1 时
dy dy dy = dx 既 − = dx y ( y − 1) y −1 y
所以 ln
y −1 = x+c y
再考虑初始条件，故原初值问题的解为 y = 1 2） ( x − 1) y ′ + 2 xy = 0, y (0) = 1
2 2
解：
dy 2 xdx 1 + 2 = 0 ， − + ln | x 2 − 1 |= C 得 C = −1 2 y y x −1
u = x − 1, v = y − 2 ⇒
dv 2u − 4v =− du u+v
let v / u = z ⇒ z + uz′ = −(2 − 4 z ) /(1 + z )
23
uz ′ = −( z − 1)( z − 2) /( z + 1); z = 1, z = 2
⇔ v = u, v = 2u ⇔ y = x + 1, y = 2 x, or
（5）
2
d4 y d3 y d 2 y − 2 3 + 2 = 0 ；四阶一次。 dx 4 dx dx
2、验证给出的函数是否为相应微分方程的解：
dy x3 x 2 2 （1） 5 = 3x + 5 x ， y = + + C 。是。 5 2 dx
（2）
p ( x )dx dy = p( x) y ， p( x) 连续， y = ce ∫ 。是。 dx
kx dy = kx ， y = y0e dx
y (4) = 2 y0 ⇔ e 4 k = 2 ⇒ y (12) = y0 e12 k = 8 y0
14
2）
y(5) k (5−3) y(3) =e ⇒ e2k = 4 ⇒ y0 = 3k = 1250 y(3) e
15
1.3 齐次方程
dy y dz f ( z ) − z ⎛ y⎞ = f ⎜ ⎟ ，令 z = ； = ，变量可分离 dx x x dx ⎝x⎠
A） g ( y ) = 0 ； B） g ( y ) ≠ 0 时，
∫ g ( y) = ∫ f ( x)dx + C ；
dy
⎧ dy ⎪ = f ( x) g ( y ) 初值问题 ⎨ dx ：对 A）验证，对 B）求待定常数 ⎪ y ( x0 ) = y0 ⎩
4
M ( x) N ( y )dx + P( x)Q( y )dy = 0 有特解和通解：
A） N ( y ) = 0 或 P ( x) = 0 ； B） N ( y ) ≠ 0 且 P ( x) ≠ 0
∫ P( x) dx + ∫ N ( y) dy = C
M ( x)
Q( y)
5
1．求下列变量可分离方程的通解： 1） ydy = xdx 解：由原方程，得 y = x + C
2 2
2）
2 2
dy = 2 xy dx
解：
dy 2y / x y = ,let z = , then 2 dx 1 + ( y / x) x
z + xz ′ = 2 z /(1 + z 2 ) ⇒ xz ′ = z (1 − z )(1 + z ) /(1 + z 2 )
z = 0, z = 1, z = −1 ⇔ y = 0, y = x, y = − x, or
16
⎛ a u + b1v ⎞ dv = f⎜ 1 ⎟ ，为齐次 du ⎝ a2u + b2 v ⎠
2） a1 : b1 = a2 : b2 ，
⎧a1 x + b1 y = λ (mx + ny ) ⎨ ⎩a2 x + b2 y = μ (mx + ny )
令 z = mx + ny
⎛ λ z + c1 ⎞ 1 dz ( − m) = f ⎜ ⎟ ，为齐次。 n dx ⎝ μ z + c2 ⎠
z + xz ′ = z + (1 + z ) ln(1 + z ) ln(1 + z ) = Cx ⇒ ln