一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。
一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0).1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。
如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。
2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。
3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。
如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。
4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。
5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。
（方程线性与否与自变量无关）。
如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。
注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。
余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。
另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。
b.教材28页第八题不妨做做。
二.可分离变量的方程A.变量分离方程1.定义：形如dxdy=f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。
这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。
2.解法：分离变量法⎰⎰+=c dx x f y dy)()(ϕ. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。
需视情况补上φ（y ）=0的特解。
（有时候特解也可以和通解统一于一式中）b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。
例1.0)4(2=-+dy x x ydx解：由题意分离变量得：042=+-ydy x dx即：0)141(41=+--ydydx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 41故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。
*例2.若连续函数f （x ）满足2ln )2()(20+=⎰dt tf x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(=由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2，B.可化为分离变量方程的类型。
解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知条件，设法将其转化为已经解决的问题来解决。
故可把一些常微分方程方程，通过适当变形，转化为大家熟悉的变量分离方程，进而解决之。
类型1.1.形式： 形如)(xy g dxdy = （2.2）的方程，此类方程称为齐次微分方程， 这里g （u ）是u 的连续函数。
1.解法：作变量变换 u=xy ， （2.3） 即y=ux ，从而：u dxdu x dx dy += （2.4） 将（2.3）（2.4）代入（2.2），则原方程变为：xuu g dx du -=)( 这是一个变量分离方程，可按照A 中的方法求解。
例3.求解方程：2)(y x dxdy+= 解：令 u=x+y ，则y=u-x ，于是：1-=dxdu dx dy 于是，原方程可化为：21u dxdu=- 分离变量得：dx u du=+12积分之，得：arctanu=x+c 变量回代，既得 方程之通解： arctan （x+y ）=x+c 例4求解方程0)ln (ln =--ydx dy y x x . 解：由题意可得：0ln =-dx xy dy yx ，即：xy y xdydx ln =（2.5）令u y x =，则uy x =，于是：u y dydu dy dx +=， 代入（2.5）得：1ln -=+uuu y dy du ， 分离变量，并整理得：ydyu u du =-)1(ln两边积分得：⎰⎰=-ydyu u du )1(ln ，令u=t e则有：⎰⎰=-ydy dt t 11，从而有：c y t ln ln 1ln +=-（c>0）.即：cy t ±=-1，变量回代得：y c yx1ln =+1 (c c ±=1) 类型二：形式：)(222111c b x a c y b x a f dx dy ++++= 解法：1.当c 1=c 2=0时，)()()(22112211x y g xy b a x yb a f y b x a y b x a f dx dy =++=++=转化为齐次方程。
2.当λ==2121b b a a 时，)())((22222122y b x a g c y b x a c y b x a f dx dy +=++++=λ ,22u y b x a =+ 则)(212222c u c f b a dx dy b a dx du +++=+=λμ 从而可转化为变量分离方程。
3.当2121b b a a ≠且21,c c 不全为零时， 解方程组｛00222111=++=++c y b x a c y b x a ，求交点),(βα, 令x=X+α，β+=Y y ，则原方程化为：)(XYdY dX ϕ= 这是齐次方程。
例5.求解方程1212+-+-=y x y x dx dy . 解：｛12012=+-=+-y x y x 得交点｛3131=-=y x ，令｛3131+=-=Y y X x 代入原方程有：Y X Y X dX dY 22--= 令u X Y =，则uX Y =，于是：u X dXdu dX dY +=， 从而有：u u u X dX du 212--=+， 整理得：XdXdu u u u 21212=+--，两边积分之，得：⎰⎰=+-+--XdXu u u u d 21)1(22，即：12ln ln 2)1ln(c X u u +-=+- （c 1>0） 即 ：2121X c u u =+-， 变量回代，并整理得：c xy y x y x =--++22 （ c 1-31=c ）例6. 求解方程25--+-=y x y x dx dy .解：令y x u -=，则 y=x u -，从而：dxdu dx dy -=1， 代入原方程，得：251-+=-u u dx du ， 整理得：dxduu =-27， 分离变量得：dx du u 7)2(=-，两边积分之：cx u u 2172122-=-，变量回代，并整理得：c xy y x y x =-+++241022（c 是任意常数）C.线性微分方程和常数变易法 1.形式：形如)()(x Q y x p dxdy=+的一阶方程称为一阶线性方 程.当0)(≡x Q 时，称之为齐次的，否则称之为非齐次的. 2. 解法：利用常数变易法求解。
其解为：))(()()(c dx e x Q e y dxx p dxx p +⎰⎰=-⎰.下面用具体的题目体现这一思想.注意：在用公式求解一阶线性方程时，一定要化为标注标准式（dx dy的系数为1），否则易出错. 例7 求方程x y dxdysin +=的通解.解：首先求线性齐次方程y dxdy=的通解，分离变量得：dx ydy=，两边同时积分， 得：x ce y =，因而可设原方程的通解为： x e x c y )(=，则)()(x c e e dxx dc dx dy x x+=， 将之入原方程，得：x e x c x c e e dxx dc x x xsin )()()(+=+，即：x xe dx x dc -=sin )(， 两边积分得：dx xe x c x ⎰-=sin )(，而 ⎰⎰---=)(sin sin x x e xd dx xe =)(sin sin x d e xe x x ⎰--+- =xdx e xe x x cos sin ⎰--+- =⎰----)(cos sin x x e xd xe =)(cos cos sin x d e xe xe x x x ⎰---+-- xdx e x x e x x sin )cos (sin ⎰---+-=从而：)cos (sin 21)(x x e x c x +-=- （这里没加常 数 ），从而通解为：)cos (sin 21x x y +-=. D.伯努利方程及其解法 1.形式：形如n y x Q y x p dxdy)()(=+（1,0≠n ）的方程称为伯努利方 程. 2.解法：在方程两边同时成乘以,n y -做代换n y z -=1，则伯努利方程转化为新的未知函数z 的线性方程)()1()()1(x Q n z x p n dxdz-=-+，从而可用C 中方法解决之.注意：n>0时，方程还有解y=0.例8.求方程26xy xydx dy -=的通解. 解：方程两边同乘2-y ，得：x y x ydx dy y -=--226，即：x xydx dy y -=-162（2.12） 令 1-=y z ， 则dxdyy dx dz 2--=，将之代入（2.12）得：x z x dx dz +-=6. （2.13） 616xc z xdx zdz =⇒-=, 记（2.13）之通解为：61)(xx c z =，于是：7161)(6)(---=x x c x dxx dc dx dz ，将以上两式代入（2.13） 得：x x x c xx x c x dxx dc +-=----61716)(6)(6)(71)(x dxx dc =⇒， c xx c +=⇒8)(81 628x c x z +=⇒ ，变量回代得原方程之通解为：6281xcx y +=，此外，方程还有解y=0.例9.解方程33y x xy dxdy=+. 解：这是n=3时的伯努利方程，令z=231--=y y ， 则方程可化为：322x xz dxdz-=，这是一阶线性方程， 应用公式得：)2(232c dx e x e z xdxxdx+⎰-⎰=-⎰=)1(22++x e c x 这样，方程之通解为：11222++=x ce yx ， 另外，方程有解：y=0. E.恰当微分方程与积分因子1.形式：对于一阶方程0),(),(=+dy y x N dx y x M （2.14） 如果其左端是某一函数),(y x u 的全微分，即dy y x N dx y x M y x du ),(),(),(+=，则称此方程为恰当微分方程.2.条件：若（2.14）中的),(),,(y x N y x M 在某一单连通区域D 有一阶连续的偏导数，则（2.14）为恰当微风方程 的充要条件为：xNy M ∂∂=∂∂，D y x ∈),(. 3.解的形式：c u =. 4.解法：a.朴素化简法：由M xu=∂∂，得)(),(),(y dx y x M y x u ϕ+=⎰， 再由N y u =∂∂，得4)(y y =ϕ)(),(),(,y dx yy x M y x N ϕ+∂∂=⎰ 由上式解得)(,y ϕ，在积分之既得)(y ϕ. (当然这种解法具有对称性)b.分项组合法：通过例题予以说明.（宜熟记课本54页（2.55））c.利用原函数之积分仅与起始点有关，而与道路无 关求解.（旨在提醒有此法，一般不用） 例10.求0)46()63(3222=+++dy y y x dx xy x 的通解.解：这里322246,63y y x N xy x M +=+=，此时：xy yN xy y M 12,12=∂∂=∂∂ 因此为恰当微分方程. a.朴素化简法.令2263xy x x u+=∂∂ （2.15）3246y y x yu+=∂∂ （2.16） 对（2.15）关于x 积分，得)(3223y y x x u ϕ++= （2.17） 对（2.17）两边关于y 求导，并对照（2.16），得： 32246)(6y y x dyy d y x yu +=+=∂∂ϕ，于是34)(y dyy d =ϕ积分之，得：4)(y y =ϕ，将4)(y y =ϕ代入（2.17），得：42233y y x x u ++=，从而通解为：c y y x x =++42233b.分项组合法.将上面方程重新组合得：0)66()43(2232=+++ydy x dx xy dy y dx x ，即：0)3()()(2243=++y x d y d x d ，亦即：0)3(2243=++y x y x d ， 从而通解为:c y x y x =++22433.（此种方法需要多观察）例11 求解方程 0)(11)(2222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--dy y x x y dx x y x y . 解：因为：32222)(2)(11)(y x xyy x x y x x y x y y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--ϕϕ， 故此方程为恰当微分方程.分项组合得：0)()(112222=---+-y x dy x y x dx y dx x dy y ，即 0)ln (ln =---yx xy x y d ， 从而方程之通解为：c yx xyx y =--ln. 5. 定义：能使非恰当微分方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 变成恰当微分方程的连续可微函数u （x ，y ）（0),(≠y x u ），称之为该方程的积分因子.即0),(),(),(),(=+dy y x N y x u dx y x M y x u ，满足xuNy uM ∂∂=∂∂. 5.积分因子(只与x ，y 有关)的求解：a.与x 有关的积分因子.由)(x NxNy M ψ=∂∂-∂∂得：⎰=dx x e u )(ψ，b.与y 有关的积分因子.由)(y MxNy M ϕ=-∂∂-∂∂得：dx x e u ⎰=)(ϕ. 例12.求方程02)3(2=++xydy dx y e x 的通解.解：由于xxy y y y y e x ∂∂=≠=∂+∂)2(26)3(2，故此方程不是恰当微 当微分方程。