速的大小无关）渡河位移：s L2 v s2t2（2）渡河位移最短：①当V c>V s时V s= V c cos θ渡河位移最短s min L ；渡河时间为t Lvsin 船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度θ=arccosV s/V c②当V c>V s 时以V s的矢尖为圆心，以V c为半径画圆，当V 与圆相切时，α角最大，的夹角为：θ =arccosV c/V s。

渡河的最小位移：s L V s Lcos V c V c =V s cos θ, 船头与河岸曲线运动一、曲线运动（1）条件：质点所受合外力的方向（或加速度方向）跟它的速度方向不在同一直线上。

①匀变速曲线运动：若做曲线运动的物体受的是恒力，即加速度大小、方向都不变的曲线运动，如平抛运动；②变加速曲线运动：若做曲线运动的物体所受的是变力，加速度改变，如匀速圆周运动。

（2）特点：①曲线运动的速度方向不断变化，故曲线运动一定是变速运动。

②曲线运动轨迹上某点的切线方向表示该点的速度方向。

③曲线运动的轨迹向合力所指一方弯曲，合力指向轨迹的凹侧。

④当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为锐角时，物体做曲线运动速率将增大；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为钝角时，物体做曲线运动的速率将减小；当物体受到的合外力的方向与速度方向的夹角为90 度时，物体做曲线运动速率将不变。

2.运动的合成与分解（指位移、速度、加速度三个物理量的合成和分解）（1）合运动和分运动关系：等时性、等效性、独立性、矢量性、相关性①等时性：合运动所需时间和对应的每个分运动所需时间相等。

②等效性：合运动的效果和各分运动的整体效果是相同的，合运动和分运动是等效替代关系，不能并存。

③独立性：每个分运动都是独立的，不受其他运动的影响④矢量性：加速度、速度、位移都是矢量，其合成和分解遵循平行四边形定则⑤相关性：合运动的性质是由分运动性质决定的（2）从已知的分运动来求合运动，叫做运动的合成；求已知运动的分运动，叫运动的分解。

①物体的实际运动是合运动②速度、时间、位移、加速度要一一对应③如果分运动都在同一条直线上，需选取正方向，与正方向相同的量取正，相反的量取负，矢量运算简化为代数运算。

如果分运动互成角度，运动合成要遵循平行四边形定则3.小船渡河问题一条宽度为L 的河流，水流速度为V s，船在静水中的速度为V c（1）渡河时间最短：设船上头斜向上游与河岸成任意角θ，这时船速在垂直于河岸方向的速度分量V1=V c sin θ, 渡河所需时间为：tLV csinsin90=1 当船头与河岸垂直时，渡河时间最短，t minLVc与水24. 关联速度和绳（杆）端点速度分解 一根轻绳，沿绳的速度、位移、加速度的大小处处相等。

绳（杆）端点速度分解为沿绳的速度和垂直绳的速度。

如图有 v A cos v B cos二、平抛运动： ：将物体沿水平方向抛出，只在重力作用下的运动为平抛运动1. 运动特点： （ 1）只受重力； （2）初速度与重力垂直。

2. 运动性质：平抛运动是初速度为零的匀变速曲线运动。

3. 处理方法：平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。

4. 基本规律：（ 1）水平方向：匀速直线运动 v x v 0 x=v ot 12（ 2）竖直方向：自由落体运动 v y gt ygt 2y2②竖直方向自由落体运动，匀变速直线运动的一切规律在竖直方向上都成立5 类平抛：当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动（处理方式和平抛运动处理方式一样）三、圆周运动1. 描述述圆周运动物理量：（1）线速度：做匀速圆周运动的物体所通过的弧长与所用的时间的比值（描述质点沿切线方向运动的快 慢）大小： v ＝ sm/st方向：某点线速度方向沿圆弧该点切线方向（2）角速度：做匀速圆周运动的物体，连接物体与圆心的半径转过的圆心角与所用的时间的比值（描述 质点绕圆心转动的快慢）大小：矢量 单位： rad/s t （3）周期和转速周期（ T ）：做圆周运动物体一周所用的时间（ s ）转速（ n ）：做圆周运动的物体单位时间内沿圆周绕圆心转过的圈数（ r/s r/min ） 44 V 、ω、 T 、n 的关系：船漂的最短距离为： x min (V s V c cos )LV c sin；渡河时间： t L v csmin。

v sin3)合速度： v v x 2 v y 2tanvygt（θ为合速度与水平方向的夹角）4）合位移： s x 2 y 2tanyx 2g v o t （α为合位移与水平方向的夹角）5）特点①运动时间由高度决定n， v ＝2r2 nr与 v 0 无2. 向心力（ 1）作用：产生向心加速度，只改变线速度的方向，不改变速度的大小，向心力对做圆周运动的物体不 做功。

（3）方向：总是沿半径指向圆心，时刻在变化，即向心力是个变力．说明 : 向心力是按效果命名的力，不是某种性质的力，向心力可以由某一个力提供，也可以由几个力的合2 3力提供，要根据物体受力的实际情况判定。

3 向心加速度（描述线速度方向改变的快慢）2v 2）大小： F 向 m r m 2rm(2T )2r m(2 n)2 r mvma 向1）大小： a 向(2T )2r2(2 n) r v（2）方向：总是指向圆心，方向时刻在变化4. 匀速圆周运动（ 1）特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都 是恒定不变的。

.（ 2）性质：匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻改变，加速度大小不变、方向时刻改变的变加 速曲线运动。

（ 3）加速度和向心力：由于匀速圆周运动仅是速度方向变化而速度大小不变，故仅存在向心加速度，因 此向心力就是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

（ 4）质点做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．5. 关联速度①同轴转动的物体：各点角速度ω相等，而线速度 v ＝ω r 与半径 r 成正比②链条传动、齿轮传动、皮带传动（不打滑） ：两轮边缘的各点线速度大小相等，而角速度ω＝ v/r 与半径 r 成反比。

6. 向心运动和离心运动 提供的向心力等于所需要的向心力时物体做匀速圆周运动 提供的向心力大于所需要的向心力时物体做向心运动 提供的向心力小于所需要的向心力时物体做离心运动7. 典型模型 （1）火车转弯：如果车轮与铁轨间无挤压力，则向心力完全由重力和支持力提供mgtanv grtan v 增加，外轨挤压，如果 v 减小，内轨挤压（飞机转弯的向心力由升力和重力提供）（ 2）竖直面内圆周运动（非匀速圆周运动） ①无支撑物情况：绳栓小球和小球在圆内轨运动（弹力只能指向圆心） 小球机械能守恒，物体做圆周运动的速率时刻在改变，物体在最高点处的速率最小，在最低点处的速 率最大。

最低点： mg F 弹2 mv mR 2v m r② 有支撑物情况：杆栓小球和小球在圆双轨运动（弹力既能指向圆心又能背离圆心） 最低点： mg F弹最高点：F 弹 mg过最高点临界条件： 当 vgR 时物体受到的弹力必然是向下的当 v gR 时物体受到的弹力必然是向上的 当 v gR 时物体受到的弹力恰好为零。

（4）汽车过拱桥（弹力只能背离圆心）v m 2in 最高点： mg F N m min（汽车不平衡）r2注：若最高点 mg m v即 vgr 时物体恰好做平抛运动。

r（5）汽车过凹路（弹力只能指向圆心）2最低点： F N mg mv m（汽车不平衡）r万有引力定律 人造卫星一、地心说和日心说1. 地心说的内容：地球是宇宙中心，其他星球围绕地球做匀速圆周运动，地球不动。

2. 日心说的内容：太阳是宇宙的中心，其他行星围绕地球匀速圆周运动，太阳不动。

日心说是波兰科学家 天文学家哥白尼创立的。

3. 开普勒三定律 德国科学家开普勒在研究麦天文学家第谷资料时得出开普勒三定律 （1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

（ 2）任何一个行星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。

（3）所有行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。

即 R 3／ T 2=k二、万有引力定律1. 内容：自然界任何两个物体之间都存在着相互作用的引力，两物体间的引力的大小，跟它们的质量的乘 积成正比，跟它们的距离的平方成反比 .最高点：F 弹 mgmv m 2in过最高点临界条件： mggr v gR 是过最高点条件2mv m R mv m 2in RF 弹 mg2 mv临m 1m 22r引力常量 G ＝ 6.67 ×10－1１Ｎ·ｍ ２/kg ２(英)卡文迪许扭秤测得“能称出地球质量的人”2. 适用条件：①公式适用于质点间的相互作用②当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视 为质点③均匀球体可视为质点， r 为两球心间的距离3. 万有引力遵守牛顿第三定律，即它们之间的引力总是大小相等、方向相反 .4. 万有引力和重力重力是万有引力的一个分力，万有引力的另一个分力提供物体随地球自转时需要的向心力，F 向mr 2物体跟地球自转的向心力随维度增大而减小，故物体的重力随纬度的变大而变大，即重力加 速度 g随纬度变大而变大。

mgGMm2物体的重力随高度的变高而减小，即重力加速度 g 随高度的变高而减小。

(R h) 2不计地球自转时GM 2mmg 得黄金代换式 gR 2GM R5. 用万有引力定律分析天体的运动( 1)基本方法：①把天体运动近似看作匀速圆周运动②万有引力提供向心力2)估算天体的质量和密度GMm 2 r2v 2 m mr rmr(2T)2ma 向 mg r2①由 G Mm2 ＝ｍ 42 r 得：Ｍ＝2234rGt2即只要测出环绕星体 M 运转的一颗卫星运转的半径和周期，就可以计算出中心天体的质量。

MV ，V434R 3得：3 r3GT 2R 3。

R 为中心天体的星体半径 当ｒ＝Ｒ时，即卫星是近地面卫星时，3G 3T 2，由此可以测量天体的密度② 由G R M 2mmg 得 M gR 2G由 M， V ， 三、人造卫星 1. 卫星的绕行速度、4R 3 得 3g3 4 GR角速度、周期与半径的关系1)Mm G 2 r2v m 得 : vrGM即轨道半径越大，绕行速度越小 r2) Mm G2 r2 2rGM3 即轨道半径越大，绕行角速度越小3)GMm rma 得： a GM2即轨道半径越大，绕行加速度越小rGMm 2 2 4 2R 3（4）由 2 mr （ ）2得： T即轨道半径越大，绕行周期越大r 2T GM2. 三种宇宙速度（1）第一宇宙速度： v １＝ 7.9 ｋ m/s 是人造地球卫星的最小发射速度，最大绕行速度。