应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。
A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。
2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。
(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。
3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。
A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。
5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。
A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。
6．||ln x y =，则y’=（ B ）。
A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。
7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。
A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。
(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。
A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。
10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
A ab a f b f f --=ξ)()()('； B 0=ξ)('f ；C ))((')()(a b f a f b f +ξ+=；D 2-=ξ)()()('a f b f f 。
11．0)('0=x f ，则x 0是函数)(x f 的（ D ）。
(02-03电大试题)A.极大值点；B.最大值点；C.极小值点；D.驻点。
12．x 0是连续函数)(x f 在(a,b)内的极小值点，则（ C ）。
A 必有0)('0=x f ；B )('0x f 必不存在；C 0)('0=x f 或)('0x f 不存在；D x ∈(a,b)时，必有)()(0x f x f ≥。
13．y=arctane x ，则dy=（ C ）。
A x x e e 21+；B x e 211+；C x x e dx e 21+；D xedx 21+。
14．设2cos )(x x x f +=，则)('x f =（ C ）。
A 1-sinx 2；B 1+sinx 2；C 1-sinx 2·2x ；D (1-sinx 2)·2x 。
15．设1)(2-=t tt f ，则)('t f =（ B ）。
A t 21； B 222)1(1-+-t t ； C 222)1(13--t t ； D 1122-+-t t 。
16．)0(lim >--→a ax x a ax a x 的值是（ D ）。
A 0；B 1；C ∞；D )1ln (-a a a。
17．若x 1与x 2分别是函数)(x f 在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（ D ）必成立。
A )()(21x f x f >； B 0)(')('21==x f x f ；C 对∀x ∈(a,b)，)()(1x f x f ≤，)()(2x f x f ≥；D )('1x f 、)('2x f 可能为0，也可能不存在。
18 若1)()()(lim2000-=--→x x x f x f x x ，则)(0x f 一定是)(x f 的（ D ）。
A 最大值；B 极小值；C 最小值；D 极大值。
二.填空题：1．已知)(x f =lnx ，则0lim→∆x x x x x ∆-∆+ln )ln(=x1。
2．若函数3ln =y ，则y’= 0 。
3．曲线y=x 3+4在点 (0,4) 处的切线平行于x 轴。
4．抛物线y=x 2在点 (1/2,1/4) 处的切线的倾斜角是45°。
5．已知)(x f =x·sinx ，则)("0f = 2 。
6．方程xy exy=所确定的隐函数的导数dx dy =xy-。
7．若函数)(x f 在x=0处可微，则)(lim 0x f x →=)0(f 。
8．)ln(sin x d =xdx cot 。
9．)ln(cos x d =xdx tan -。
10．=)(sin xe d dx e e x x cos 。
11．半径为x 的金属圆片，面积为S(x)。
加热后半径伸长了△x ，应用微分方法求出△S ≈ S ’(x)△x 。
12．=+∞→xx e xln lim0 。
13．函数y=arctan(x 2+1)的递增区间是),0(∞+。
14．函数y=ln(2x 4+8)的递减区间是)0,(-∞。
15．函数y=sinx-x 在其定义域内的单调性是 单调减少 。
16．极值存在的必要条件：如果)(x f 在点x 0处取得极值且在点x 0处可导，则0)(=x f 。
17．若函数)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内0)('<x f ，则函数的最小值为)(b f 。
18．设函数)(x f y =二阶可导，若0)('0=x f 、0)("0<x f ，则)(0x f 是)(x f 的 极大值 。
19．已知生产某种产品的成本函数为q q C 280)(+=，则产量50=q 时，该产品的平均成本为 3.6 。
20．微分近似计算函数值公式x x f x f x x f ∆+≈∆+)(')()(。
三、解答题：1．求函数xx y -++=1111的导数。
解：因为xxxy -=-++=121111，所以22)1(2)1()1(2'x x y -=---=。
2．求函数xxy sin ln =的导数。
解：xx xx x x x xx x x x x x x x y 222sin cos ln sin sin cos ln sin 1sin )'(sin ln sin )'(ln '-=-=-=。
3．求函数x e x y xcos ⋅⋅=的导数。
解：)sin cos (cos sin cos cos 'x x x x x e x xe x xe x e y xx x x -+=-+=。
4．求方程2x y =在点)9,3(处的切线方程。
解：曲线2x y =在点)9,3(处的切线的斜率为2x y =在点)9,3(处的导数 因为6|2|'33====x x x y ，所以切线的方程为)3(69-=-x y即 096=--y x5．求函数x x y 2cos sin 2=的导数。
解：2)2sin (sin 2cos )'(sin sin 2'2⋅-+⋅=x x x x x yx x x x x 2sin sin 22cos cos sin 22-=x x x x x x x x 3cos sin 2)2sin sin 2cos (cos sin 2=-=。
6．求函数2tanln xy =的导数。
解：x x x x x y sin 12cos 2sin 21212sec 2tan 1'2==⋅⋅=。
7．求函数xy n cos 1=的导数。
解：xxn x x n x y n n n 11cos sin )'(cos cos )'(cos '+---=-==。
8．利用对数求导法求函数xx y sin )(cos =的导数。
解：两边取自然对数，得x x y cos ln sin ln =两边对x 求导，得xx x x x y y cos sin sin cos ln cos '-⋅+= )tan sin cos ln (cos )(cos )tan sin cos ln (cos 'sin x x x x x x x x x y y x -=-=。
9．利用对数求导法求函数xx y ln )(sin =的导数。
解：两边取自然对数，得x x y sin ln ln ln =两边对x 求导，得xx x x x y y sin cos ln sin ln 1'⋅+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x x x x x x x y y x cot ln sin ln 1)(sin cot ln sin ln 1'ln10．求方程xyy x =所确定的隐函数的导数dxdy。
解：两边取自然对数，得y x x y ln ln =两边对x 求导，得yy x y x y x y 'ln 1ln '⋅+=⋅+ 整理，得)ln ()ln (x x y x y y x y dx dy --=。
11．求方程22ln arctany x x y +=所确定的隐函数的导数dxdy。
解：两边对x 求导，得2222222'221'11yx yy x yx xyx y x y ++⋅+=-⋅⎪⎭⎫⎝⎛+整理，得yx y x dx dy -+=。
12．求方程xyye xe =所确定的隐函数的导数dxdy 。
解：两边对x 求导，得x x y y ye e y y xe e +=+''整理，得 y x xy xee ye e dx dy --= 13．己知函数xxe y =，求y (n)。
解：因为)1('+=+=x e xe e y xxx，)2()1(''+=++=x e e x e y x x x ， )3()2('''+=++=x e e x e y x x x ，……………………………………所以， )()(n x e yx n +=14．已知xx y n ln )2(=-，求)(n y 。
解：x x x x x x y n 22)1(ln 1ln ln 1ln -=⋅-=+， xx x x x x x x xy n 342)(ln ln 2ln 1ln 2)1ln (ln 1-=⋅--⋅=。