第五章 曲线运动 第六节 向心力
A 级 抓基础
1．下列关于做匀速圆周运动的物体所受向心力的说法中，正确的是( ) A ．物体除其他的力外还要受到一个向心力的作用 B ．物体所受的合力提供向心力 C ．向心力是一个恒力 D ．向心力的大小一直在变化
解析：向心力是一个效果力，并不单独存在，选项A 错误；做匀速圆周运动的物体所受合力提供向心力，大小不变，方向时刻指向圆心，选项B 正确，选项C 、D 错误．
答案：B
2．做匀速圆周运动的物体，它所受的向心力的大小必定与( ) A ．线速度平方成正比 B ．角速度平方成正比 C ．运动半径成反比
D ．线速度和角速度的乘积成正比
解析：因做匀速圆周运动的物体满足关系F n ＝m v 2
R ＝mRω2＝mvω，由此可以看出在R 、
v 、ω是变量的情况下， F n 与R 、v 、ω是什么关系不能确定，只有在R 一定的情况下，向
心力才与线速度的平方、角速度的平方成正比；在v 一定时，F n 与R 成反比；ω一定时，
F n 与R 成正比．故选项A 、B 、C 错误，而从F n ＝mvω看，因m 是不变的，故选项D 正
确．
答案：D
3．如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( )
A ．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用
B ．老鹰受重力和空气对它的作用力
C ．老鹰受重力和向心力的作用
D ．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用
解析：老鹰在空中做圆周运动，受重力和空气对它的作用力两个力的作用，两个力的合力充当它做圆周运动的向心力．但不能说老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力三个力的作用．选项B 正确．
答案：B
4.如图所示，物块在水平圆盘上，与圆盘一起绕固定轴匀速转动，下列说法中正确的是( )
A ．物块处于平衡状态
B ．物块受三个力作用
C ．在角速度一定时，物块到转轴的距离越远，物块越不容易脱离圆盘
D ．在物块到转轴距离一定时，物块运动周期越小，越不容易脱离圆盘
解析：对物块进行受力分析可知，物块受竖直向下的重力、垂直圆盘向上的支持力及指向圆心的摩擦力共三个力作用，合力提供向心力，A 错，B 正确．根据向心力公式F ＝mrω2可知，当ω一定时，半径越大，所需的向心力越大，物块越容易脱离圆盘；根据向心力公
式F ＝mr ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
可知，当物块到转轴距离一定时，周期越小，所需向心力越大，物块越容易
脱离圆盘，C 、D 错误．
答案：B
5.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动．当圆筒的角速度增大以后，物体仍然随圆筒一起匀速转动而未滑动，则下列说法正确的是( )
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：物体随圆筒一起匀速转动时，受到三个力的作用：重力G、筒壁对它的弹力F N 和筒壁对它的摩擦力F1(如图所示)．其中G和F1是一对平衡力，筒壁对它的弹力F N提供它做匀速圆周运动的向心力．当圆筒匀速转动时，不管其角速度多大，只要物体随圆筒一起匀速转动而未滑动，则物体所受的摩擦力F1大小等于其重力．而根据向心力公式F N＝mω2r 可知，当角速度ω变大时，F N也变大，故D正确．
答案：D
6.如图所示，小球在半径为R的光滑半球面内贴着内壁在水平面内做匀速圆周运动，小球与半球球心的连线与竖直方向的夹角为θ，求小球的周期T(已知重力加速度为g)．
解析：小球只受重力和球内壁的支持力的作用，此二力的合力沿水平方向指向圆心，即该二力的合力等于向心力，如图所示．
故向心力F ＝mg ·tan θ.①
小球做圆周运动的半径r ＝R sin θ.②
根据向心力公式F ＝m ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2πT 2
r .③
解以上①②③得T ＝2π
R cos θg
.
答案：2π
R cos θg
7．(多选)如图所示，长为L 的悬线固定在O 点，在O 点正下方有一钉子C ，OC 距离为L
2，把悬线另一端的小球m 拉到跟悬点在同一水平面上无初速度释放，小球运动到悬点正下方时悬线碰到钉子，则小球的( )
A ．线速度突然增大为原来的2倍
B ．角速度突然增大为原来的2倍
C ．向心加速度突然增大为原来的2倍
D ．悬线拉力突然增大为原来的2倍
解析：悬线与钉子碰撞前后，线的拉力始终与小球运动方向垂直，小球的线速度不变，A 错；当半径减小时，由ω＝v r
知ω变大为原来的2倍，B 对；再由a n ＝v 2r
知向心加速度
突然增大为原来的2倍，C 对；而在最低点F －mg ＝m v 2
r
，故碰到钉子后合力变为原来的2
倍，悬线拉力变大，但不是原来的2倍，D 错．
答案：BC
B 级 提能力
8.如图所示，A 、B 两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O 点和B 点，让两个小球绕O 点在光滑水平桌面上以相同的角速度做圆周运动，若OB 绳上的拉力为F 1，AB 绳上的拉力为F 2，OB ＝AB ，则( )
A ．F 1∶F 2＝2∶3
B ．F 1∶F 2＝3∶2
C ．F 1∶F 2＝5∶3
D ．F 1∶F 2＝2∶1
解析：小球在光滑水平桌面上做匀速圆周运动，设角速度为ω，在竖直方向上所受重力与桌面支持力平衡，水平方向不受摩擦力，绳子的拉力提供向心力．由牛顿第二定律，对
A 球有F 2＝mr 2ω2，对
B 球有F 1－F 2＝mr 1ω2，已知
r 2＝2r 1，各式联立解得F 1＝3
2
F 2，故
B 对，A 、
C 、
D 错．
答案：B
9.质量不计的轻质弹性杆P 插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为m 的小球，今使小球在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为( )
A ．m ω2R
B ．m
g 2－ω4R 2
C ．m
g 2＋ω4R 2 D ．不能确定
解析：对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力mg，另一个是杆对小球的作用力F，两个力的合力充当向心力．由平行四边形定则可得：F＝m g2＋ω4R2，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对其作用力的大小为F＝m g2＋ω4R2.故选项C正确．答案：C
10．如图，在验证向心力公式的实验中，质量为m的钢球①放在A盘的边缘，质量为4m的钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A盘、B盘同轴的轮．a轮、b轮半径之比为1∶2，当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，钢球①、②受到的向心力之比为( )
A．2∶1 B．4∶1 C．1∶4 D．8∶1
解析：皮带传送，边缘上的点线速度大小相等，所以v a＝v b，a轮、b轮半径之比为1∶2，
所以ωa
ωb＝
2
1
，共轴的点，角速度相等，两个钢球的角速度分别与共轴轮子的角速度相等，
则ω1
ω2＝
2
1
，根据向心加速度a＝rω2，
a1
a2＝
8
1
.由向心力公式F n＝ma，得
F1
F2＝
m1a1
m2a2＝
2
1
.A正确．答案：A
11.(多选)一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小
球A和B沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( )
A．A球的角速度必小于B球的角速度
B．A球的线速度必小于B球的线速度
C．A球的运动周期必大于B球的运动周期
D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力
解析：两个小球均受到重力mg 和筒壁对它的弹力F N 的作用，其合力必定在水平面内时刻指向圆心．由图可知，筒壁对球的弹力F N ＝mg sin θ，向心力F n ＝mg
tan θ，其中θ为圆锥
顶角的一半．对于A 、B 两球因质量相等，θ角也相等，所以A 、B 两小球受到筒壁的弹力大小相等，A 、B 两小球对筒壁的压力大小相等，D 错误；由牛顿第二定律知，mg tan θ＝
mv 2
r ＝mω2r ＝m 4π2r
T
2.所以，小球的线速度v ＝
gr tan θ
，角速度ω＝ g r cot θ
，周期T
＝2π
r tan θg
.由此可见，小球A 的线速度必定大于小球B 的线速度，B 错误；小球A
的角速度必小于小球B 的角速度，小球A 的周期必大于小球B 的周期，A 、C 正确．
答案：AC
12.如图所示，水平转盘上放有质量为m 的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r ，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：
(1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为
3μg
2r
时，绳子对物体拉力的大小． 解析：(1)当恰由最大静摩擦力提供向心力时，绳子拉力为零且转速达到最大，设转盘转动的角速度为ω0，则
μmg ＝mω20r ，得ω0＝
μg r
.(2)当ω＝
3μg
2r
时，ω＞ω0，所
以绳子的拉力F 和最大静摩擦力共同提供向心力，此时，F ＋μmg ＝mω2r ，即F ＋μmg ＝
m ·
3μg 2r ·r ，得F ＝1
2μmg . 答案：(1)
μg
r (2)1
2
μmg。