直平分线交MH于点M，拖动点H，观察点M的轨 迹，你能发现点M满足的几何条件吗？
L
H
M
F
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实验
一、抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l（l不
经过点F）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线
其中 定点F叫做抛物线的焦点
定直线 l 叫做抛物线的准线
l
M
H· ·F
定义告诉我们：
1、判断抛物线的一种方法 2、抛物线上任一点的性质：|MF|=|MH|
轴，F和垂足的中点为坐标原点建立
y
l
直角坐标系 设︱KF︱= p （ p >0）
H
·M(x,y)
p 则F（ 2
，0），l：x = -
p 2
Ko
设动点M的坐标为（x，y），
由|MF|=|MH|可知，


p 2
,
0

(x p)2 y2 x p
2
2
·F x

p 2
,
0

一条抛物线？试指出它的开口方向、焦点坐标和
准线方程。 解：二次函数 y ax2 (a 0)化为：x2 1 y
a
其中 2 p 1
a
①当a>0时,
p 2
=
1 4a
,抛物线的开口向上
焦点坐标是（0 ，41a），准线方程是： y=
1 4a
②当a<0时,
p 2
=
1 ,抛物线的开口向下
4a
焦点坐标是（0 2020/2/27
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（二）四种抛物线的标准方程
y 2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
y2 2 px
p 0
p ,0 2
x p 2
图
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
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是一次项系数的 1
2
的相反数
4
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练习
求下列抛物线的焦点坐标和准线方程
（1）y 2 = -20 x 焦点F ( -5 , 0 ) 准线：x =5
（2） y = 6 x 2
焦点F ( 0
,
1 24
)
准线：y
=
－
1 24
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例2 已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2）
求它的标准方程。
，41a
），准线方程是：
y=
1 4a
作业
P73 A组 ：1,2（必做）
补充：求经过点p（4，-2）的抛物线 的标准方程。
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解法一：以 L为 y轴，过点F 垂直于L的直线为 x轴建
立直角坐标系（如下图所示）,则定点F ( p, o) 设动点
点 M (x, y)
(x p)2 y2 x
例3 .一种卫星接收天线的轴截面如图。卫星波 束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接 收天线，经反射聚集到焦点处。已知接收天 线的口径为4.8m,深度为0.5m，试建立适当的 坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
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小结
1.理解抛物线的定义, 2.掌握抛物线的标准方程的四种形式以及P 的几何意义.
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练习
1、到定点（3，0）与到直线 l : x 3 的距
离相等的点的轨迹是（C ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
2、到定点（3，0）与到直线 l : x 3 的距
离相等的点的轨迹是（D ） A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.直线
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二、抛物线的标准方程
2.4.1抛物线及其 标准方程
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抛物线的生活实例 投篮运动
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萨尔南拱门
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抛物线及其标准方程
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实验模型：
如图，点F是定点,L是不经过点F的定直线。H是
L 上任意一点，过点H 作 MH L，线段FH的垂
x2 2 py 0, p
p 0 2
y p 2
（三）区别与联系
1、四种形式标准方程及图像的共同特征
y2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
（1）、二次项系数都化成了___1____
y M(x,y)
化简得：y 2

2
px

p
2
(
p

0)
O
Fx
L
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解法二：以定点 F 为原点，过点 F 垂直于 L的直线为x轴建
立直角坐标系（如下图所示），则定点F (0, 0) ，L 的方程
为x p
y
设动点 M (x, y)，由抛物线定义得
M(x,y)
x2 y2 x p
3.注重数形结合、分类讨论思想的应用
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练习
根据下列条件写出各自的抛物线的标准方程
（1）焦点是 F（3，0）
y 2 = 12x
（2）焦点到准线的距离为2 y 2 = 4x , y 2 =－ 4x , x 2 = 4y , x 2 = －4y
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思考: 二次函数 y ax2 (a ≠0)的图象为什么是
1、一次项(x或y)定焦点 2、一次项系数符号定开口方向.
正号朝坐标轴的正向，负号朝坐标轴的负向。
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三、应用
例1 已知抛物线的标准方程是y2 = 6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
解: ∵2P=6,∴P=3
3 是一次项系数的
所以抛物线的焦点坐标是（ 2，0）
1 4
准线方程是x= 3
解: 因为焦点在y的负半轴上,所以设所 求的标准方程为x2= -2py
由题意得 P 2 ，即p=4 2
∴所求的标准方程为x2= -8y
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解题感悟:
求抛物线标准方程的步骤： （1）确定抛物线的形式. （2）求p值 （3）写抛物线方程
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巩固提高：
求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
F(O) x
y p 2
2
化简得： 2 px ( p 0)
L
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M
F(－ p ，0) 2
y L
χ＝
p 2
Fo
x
y2＝－2pχ
(p＞0)
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化简得 y2 = 2px（p＞0） 2020/2/27
把方程 y2 = 2px（p＞0） 叫做抛物线的标准方程
ly
. O
x
K
F
其中
焦点
F（
p 2
，0），准线方程l：x = -
p 2
而p 的几何意义是: 焦点到准线的距离
想一想:
在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同 的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，那 么抛物线的标准方程有哪些不同的形式？看图
（2）、四种形式的方程一次项的系数都含2p
（位于3）此、点四的种两抛侧物，线且都离过此_O点__的_点距离；均焦为点_与__准p_线分别
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2
二、四种形式标准方程及图像的区别
y2 2 px y2 2 px x2 2 py x2 2 py
p 0 p 0 p 0 p 0
解:（1）当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
．y A
代入x2 =2py，得p= 9 4
O
x
（2）当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3 ∴抛物线的标准方程为x2 =
9 y或y2 = 4
x
。
2
3
注意20:20/焦2/27 点或开口方向不定，则要注意分类讨论
回顾求曲线方程一般步骤：
1.建:建立直角坐标系. 2.设:设所求的动点(x,y); 3. 限（现）:根据限制条件列出等式; 4. 代:代入坐标与数据; 5. 化:化简方程.
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建系
yy
H
M
·· OK
y
NO O F
l
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x
K F
N
（一）标准方程的推导:
如图，以过F点垂直于直线l 的直线为x