4、用十字相乘法把二次三项式分解因式【知识精读】对于首项系数是1的二次三项式的十字相乘法，重点是运用公式2x （a b ）x ab h[x • a X • b 进行因式分解。
掌握这种方法的关键是确定适合条件的 两个数，即把常数项分解成两个数的积，且其和等于一次项系数。
对于二次三项ax 2 bx c （ a 、b 、c 都是整数，且a 0 ）来说，如果存在四个整数 a 1， c ，a 2， c 2 满足 a 1a^ a ， qq = c ，并且 a 1c 2 - a 2C | = b ，那么二次三项式 2 2ax bx c 即 a 1a 2x - a 1c 2 - a 2c 1 x - c 1c 2 可以分解为 a 1x - c 1 a 2x - c 2。
这里要确定四个常数a 1，c 1，a 2，q ，分析和尝试都要比首项系数是1的类型复杂，因此一般要借 助画十字交叉线的办法来确定。
下面我们一起来学习用十字相乘法因式分解。
【分类解析】1.在方程、不等式中的应用2例1.已知：x - 11x 24 0，求x 的取值范围。
分析：本题为二次不等式，可以应用因式分解化二次为一次，即可求解。
解： x 2 -11x 24 0.x -3 x -8 0 将它与原式的各项系数进行对比，得：a b--1, m=1, 2a-b - -2m解得：a - -1, b =0, m =12 2此时，原式二x 2 x -x-1(2)设原式分解为 x 2 • cx -2 x 2 dx 1，其中c 、d 为整数，去括号，得:x 4 亠［c d x ‘ - x 2 亠［c - 2d x - 2x - 3 0 l x —8 - 0 或 x - 3 ” 0 x - 8 ：： 0将它与原式的各项系数进行对比，得：c d - -1，m - -1，c-2d - -2m解得：c=0， d = -1，m=-12 2此时，原式二x -2 x -x 12.在几何学中的应用例.已知：长方形的长、宽为x 、y ,周长为16cm ，且满足2 -2xy - y *2=0，求长方形的面积。
要求长方形的面积，需借助题目中的条件求出长方形的长和宽。
x 2 (x -y)2 - x - y -2 =0x-y-2 x-y1 =0x -y -2 = 0 或 x -y1=0 又 x y = 8x _ y 1 二 0x y =8解得：厂5或(x |_y = 3 [y = 4.563 2•••长方形的面积为 15cm 2或 cm 43、在代数证明题中的应用2 2例•证明：若4x-y 是7的倍数，其中x ，y 都是整数，则8x 10x^3y 是49的倍数。
分析:解：-x - y - x 2 2xy - y 2 2=0-2xy y 2 | i x - y _ 2 二 0、2 =35分析：要证明原式是49的倍数，必将原式分解成49与一个整数的乘积的形式。
2 2证明一：8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2 2x 3y = 4x 6y = 4x - y 7y•/ 4x - y是7的倍数，7y也是7的倍数（y是整数）••• 2 2x 3y是7的倍数・10xy-3y2是49的倍数。
而2与7互质，因此，2x 3y是7的倍数，所以8x2证明二：••• 4x - y是7的倍数，设4x - y = 7m （m是整数）贝U y = 4x -7m2 2又 8x 10xy-3y = 2x 3y 4x - y2x 12x -21m 4x -4x 7m]=7m 14x -21m]=49m 2x -3m •/x, m是整数，• m2x-3m也是整数2 2所以，8x 10xy -3y是49的倍数。
4、中考点拨例1.把4x4y2—5x2y2—9y2分解因式的结果是___________________ 。
解: 4x4y2 -5x2y2 -9y2=y24x4_5x2_ 9-y24x2-9 x2 12 2=y x 1 2x 3 2x -3说明：多项式有公因式，提取后又符合十字相乘法和公式法，继续分解彻底。
例2.2因式分解：6x — 7x — 5 = ______________解：6x2 -7x -5 = 2x 1 3x -5说明：分解系数时一定要注意符号，否则由于不慎将造成错误。
5、题型展示2 2例1.若x - y mx 5^ 6能分解为两个一次因式的积，则m的值为（）2 2解：x - y mx 5y _ 6 = x y x _ y i 亠mx 5y _6 -6可分解成-2 3或-3 2，因此，存在两种情况：(1) x + y-2/(2) x + y\-3x-y3/x-y2由(1)可得：m =1,由(1)可得：m - -1故选择C。
说明：对二元二次多项式分解因式时，要先观察其二次项能否分解成两个一次式乘积，再通过待定系数法确定其系数，这是一种常用的方法。
2例2.已知：a、b、c为互不相等的数，且满足a-c 4b-a c-b。
求证：a -b 二b - c证明：a-c2 =4b-a c-b2(a _c) _4(b_a '(c_b)=0a2 -2ac c2 -4bc 4ac -4ab 4b2 = 02 2(a+c) _4bg+c)+4b2 =02二(a +c-2b) =0a c -2b 二0a _b = b _c说明：抓住已知条件，应用因式分解使命题得证。
3 2例3.若x 5x 7x a有一因式x 1。
求a,并将原式因式分解。
【实战模拟】1.分解因式:(1) a2b216ab 39 (2) 15x2n 7x n y n 1 -4y2n 22 22(3) x 3x -22 x 3x 72A. 1B. -1C. -1D. 22.在多项式x 1, x 2, x 3, x2 2^3, x2 2x -1, x2 2x 3，哪些是多项2 4 2 2式x 2x -10 x 2x 9的因式？3.已知多项式2x3-x2- 13x - k有一个因式，求k的值，并把原式分解因式。
2 24•分解因式：3x ，5xy-2y x 9^ 45.已知：x y = 05，x 3y = 1.2，求3x2 12xy 9y2的值。
【试题答案】1.2(1)解：原式=(ab) +16ab + 39 =(ab + 3]ab + 13)(2)解:原式=①"1 _ y n41i5x n +4y nH1)2 2(3)解：原式二x 3x「4 x 3x「18 二x 4 x「1 x 6x「32.2 422解：x 2x -10 x 2x 9 =Ij x2 +2x j —9 収+2x j —1】2 2 2 2二x 2x 3 x 2x「3 x 2x 1 x 2x「12 2 2= x 2x 3x 3x-1x1 x2x-12 2•••其中x 1, x 3, x 2x 3, x • 2x -1 是多项式2 4 2 2x22x -10 x22x 9 的因式。
说明：先正确分解，再判断。
3.解：设2x3 - x2 -13x k = 2x 1 x2 ax b则2x3 - x2 - 13x k 二2x3 2a 1 x2 a 2b x b”2a +1 = -1二“a+ 2b = -13b = ka = -1解得：J b = -6k= -6k 一6且2x3-X2-13X-6=2X-1 X2-X-6二2x-1 x-3 x 2 说明：待定系数法是处理多项式问题的一个重要办法，所给多项式是三次式，已知有个一次因式，则另一个因式为二次式，由多项式乘法法则可知其二次项系数为1。
4.解：简析：由于项数多，直接分解的难度较大，可利用待定系数法。
2 2设3x 5xy-2y x 9y「4=3x _ y m x 2y n2 2 t .二3x 5xy「2y 亠〔m 3n x 2m-n y mnm 3n = 1比较同类项系数，得：2m-n = 9mn 二-4"m = 4解得：n - -12 23x 5xy-2y x 9y-4 二3x-y 4 x-2y-15.2 2解：3x 12xy 9yx 8 或x ：： 3例2.如果x4- x3■ mx2-2mx -2能分解成两个整数系数的二次因式的积，试求m的值，并把这个多项式分解因式。
分析：应当把x4分成x2x2，而对于常数项-2，可能分解成-1 2，或者分解成-2 1，由此分为两种情况进行讨论。
解：（1）设原式分解为x2• ax -1 x2 bx 2，其中a、b为整数，去括号，得：4 3 2x 亠〔a b x x 亠〔2a - b x - 23 2解：；x 5x 7x a有一因式x 1•••当x 1 = 0，即x = T 时，x35x27x a = 0a = 3x3 5x2 7x 3=x3 x2 4x2 4x 3x 3=x2 x 1 4x x 1 3x1=x 1 x2 4x 3=x 1 x 1 x 3二x 1 2 x 3说明：由条件知，x=-1时多项式的值为零，代入求得a,再利用原式有一个因式是x 1，分解时尽量出现x 1，从而分解彻底。
2 2=3 x24xy 3y=3 x y x 3yx y = 05 , x 3y = 12.原式=3 05 12 =18说明：用因式分解可简化计算。