kx
k
c
cx
y(t)
此时结构加速度为 (xy)
x
m
m(xy)
kx
k
c
cx
y(t)
绝对位移：x+y，相对位移：x
m ( x y ) c x k 0 x
此地解震称反为应杜振哈动梅方积分程。
m x c x k x m y
x(t)0 tm f( )e0 (t )si n (t)d
埃森特罗地震记录南北分量时程（上）与傅立叶 振幅谱（左下）和相位谱（右下）
加速度/Gal
400 300 200 100
0 -100 -200 -300
0
10
20
30
40
50
时间/sec 160
傅立叶幅值谱/cm/sec
140
120
/2
Hale Waihona Puke /4 100相位/弧 度
0 80
/4
60 / 2
40
0
5
tk k t,a k a tk ,n n ,
可得
1 N1
i2N k n
F ae n
k
Nk0
N1 i2kn
ak Fne N n0
k0,1,2,,N1 k0,1,2,,N1
2
N t
N
2
N
2 t
解释：
1）t 称为采样间隔，时间步距；f 1 1 为频率间
隔，或频率的分辨率。
Nt T
反应谱表征了地震动加速度时间过程作用于单 自由度弹性体系的最大反应（加速度、速度和 位移）随体系的自振特性（周期、阻尼比）变 化的函数关系。
表示地震反应的物理量不同，反应谱的形 式也不同，如加速度、速度、位移等
位移反应谱； 速度反应谱； 加速度反应谱（绝对）
反应谱计算公式：
ut 1
t
ug e0t sin t d
3、频谱分析的结果可以方便地在结构抗震、基础 隔震等工程问题中应用。
二、反应谱（地震工程的灵魂）
回顾单自由度的地震反应分析，这是结构 地震反应分析最简单，最本质的分析模型。
m
k
c
x
m
k
c
y(t)
此时没有外力作用，结构随地面一起
运动，位移是（x+y），x，y分别为
相对位移和牵连位移。
x
m
m(xy)
2）频率的分辨率取决于时间步距，间隔越小，或时 间步距固定，则采样点（可以补零）越多，频率分 辨率越高。
T
f T
f T
时程 x(t)
傅立叶幅值谱 F(f)
3）时间分割和频率分割精度互相矛盾，是测不准 原理的体现。
4）由于 FnFNn（共轭），故 N 为对称点，称 2
为折叠频率，
可得
N
2
N
2 t
如何估计结构地震反应？
基于两个简化： 1）结构体系模型用单质点模型，计算简单 2）用一个不变的（静）力表示，便于设计 应用
方法：解单质点对地震动的反应 只选取加速度最大值 加速度乘以质量就是惯性力
与重力之比称为地震系数 F*W
反应谱就是以不同单质点自振频率（或周期） 为横坐标，反应最大值为纵坐标画出的曲线， 因为与频率（周期）对应，亦是谱的一种。
2）主要分量在0—10Hz之间
3）因为是离散计算，曲线毛刺多，可以平 滑化，如红线示意。
分解对研究地震动特性具有重要的意义
1、它定量揭示地震动的动力特性。以不同频率 分量的表现来研究地震动及其对结构的作用， 是动力分析的特点； 2、用严格的数理方法求解结构地震反应时，简 谐振动反应容易求解。对线性体系，先求解每个 简谐振动的反应，再叠加求得总体反应的方法， 比直接求解便利得多；
此处加标题
傅立叶谱与反应谱
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什么是频谱？
频谱是针对以时间为自变量的物理量变化 函数而言，例如将任意复杂的振动分解为不同 频率的简谐分量。
一般情况，变化非常复杂的物理量难以直接 定量分析，将复杂的现象分解为许多简单现象的 合成，化繁为简，化难为易。
如同白光能分解为各种频率的彩色光一样， 任何复杂的地震动也都可以分解为许多简谐振动， 这些简谐振动的振幅、初相位随频率变化。
fN/2 1/2t
若给定时间序列的采样间隔 t 则从采样后的离散信号中所能分辨出的最高频 率就是折叠频率：
fc 1(2t)
称为采样定理，折叠频率亦称奈奎斯特频率 （Nyquist frequency）
fR
例如加速度时程的时间步距为0.01sec，则离 散傅里叶谱的有效高频为50Hz。
加速度振幅谱特点： 1）开始（频率小)很小，迅速增大，然后 减小，高频和低频都小，意味某个频段幅 值大，这些振动分量强
10
15
20
25
30
频率/Hz
20
0
0
5
10
15
20
25
30
傅里叶谱是复数，由实部和虚部组成，它的模称 为幅值谱，幅角为相位谱
C () A () iB () C ()e i( )
C() A2()B2()
( ) a rc ta n [A ( )/B ( )]
实际上地震动时程无法用解析函数表示，因此要 用离散方法做数值计算
(-1)
将振动信号（或任意变化的函数）分解为 简谐振动（三角函数）的过程称为傅立叶 （Fourier）分解。得到振幅和相位随频率变化 的关系称为傅里叶谱，包括振幅谱和相位谱， 统称(大多指振幅谱)为频谱，完成分解的运算 称为傅立叶变换。
振动时程各不相同，傅里叶谱也互相各异， 有各自的特点，即频谱特性。振动信号的频谱 有重要的物理意义和应用。
一、傅里叶谱
在数学上可将任意变化的周期函数分解为正弦或 余弦变化的三角函数（称为简谐函数）之和，分解 是通过傅立叶展开或傅立叶变换完成的。
对随时间任意变化的物理量，分解具有物理意义： 例如对振动信号来说，时间变量的三角函数表示简 谐振动，这种分解就是将复杂的地震动化为无数简 谐振动之和。法国数学家傅立叶（J. Fourier）首 先研究将任意函数分解为三角级数之和的方法和条 件，并建立数学基础，后人发展并以其名字命名， 称为傅立叶级数。
0
ut 0
t
ug e0t cos t
0
d
ut
ug
t
02
t
ug e0t sin t 2d
0
对反应谱的注释：
反应谱是单自由度体系对地震动输入的地震 反应的最大值；
反应谱反映的是地震动的频谱特性； 反应谱还与体系的阻尼比有关。在反应谱计
时域和频域：时程和频谱
不同频率信号的时域图和频域图
复杂周期信号波形
从一般信号分析（数学化）的观点来看： 连续信号与离散信号 周期信号与非周期信号 周期信号：
ftTf(t) t
连续信号
f(t) 0
f(t)
f0
f1
t
t
0
f2
离散信号
f(tk)
(6)
(4.5)
(3) (1.5)
(2)
-1
t
01 2 3 4