位置空间 坐标空间
倒易空间 傅里叶空间 K空间
1.9.3 常见晶格的布里渊区 (1) 一维晶格 a1 ai
2 b1 i a
(2) 二维晶格 a1、a 2 b1 2 b2 2
构造a 3，令a 3 k ＝ a2 a3 a1 a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 a 3
自身重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为 n度旋转对称轴（n度轴），记作n。 n=1,2,3,4,6
n度旋转
=2/4 =2/2 =2/6 =2/3 =2/1
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。
1 i， 2 m， 3 3 i， 6 3 m
(示意图)
正四面体示意图 4
a a a´ a b
b´ b
aa´ b b´
转动2/4， 并非4度旋转 中心对称旋转 并非反演
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点群和空间群
(1)点群：一个晶体所包含的全部对称操作的集合。 (2)最简单的点群是Cn群，即旋转，利用二维晶格可 证明。 (3)若只考虑宏观对称性，不考虑平移，晶体中有8种 独立的对称元素：1，2，3，4，6，i，m ，4 组合起 来，得到32种宏观对称类型，即32种点群。* (4)空间群：点群的延伸，32种点群再加另外两种操 作，导出230种微观对称类型。
(3)反映（镜面反演，镜象）：
如果晶体中存在一个 平面，当以它作为xoy 面，并将晶体中任一点 （x，y，z）变为（x， y，-z）时，晶体能与 自身重合，则该对称操 作称为反映，该平面称 为晶体的对称面或镜面， 记作m。
(4)像转：
如果晶体绕某固定轴u旋转2/n后，再通过某点
O作中心反演，能与自身重合，则此对称操作称 为像转，轴u称为n度像转对称轴，记作 n 。 n =1,2,3,4,6 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有n ；但晶体 中如果存在 n ，则未必有n和i。 (示意图) n 不是独立的对称操作：只有 4 是独立的。
点阵：原胞基矢1、a2、a3 a
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 ， V a1 (a2 a3 ) 原 胞 体 积 b2 2 V b 2 a1 a2 3 V
b1、b2、b3：原胞基矢 倒易点阵 a1、a2、a3： 原胞基矢 正点阵
l 0 l l 0
当X光为单色光，衍射加强的条件为： Rl•(S-S0)=u •λ 令 ，代入上式，
衍射加强条件变为： Rl• （k -k0） = 2π u 根据正点阵与倒易点阵的关系，(k-k0)必是倒易空间 中的位置矢量，令：
Gh k -k 0
有 Rl• Gh = 2π u
2

(S S0 )
1.9 倒格子(倒易点阵)*
1.9 1 倒格子(倒易点阵)*的定义：
1 正格矢与倒矢
S S0 P B A O
原子可向空间任何方向散射 X光线，只有一些固定方向 可形成衍射。
点P： Rl=l1a1+l2a2+l3a3，Rl是布喇菲点阵中由原胞基矢 a1，a2，a3构成的矢量， S0和S是入射线和衍射线的单位矢量，经过O点和P点衍 射后光程差为： A0 OB -R S R S R ( S-S )
Ce
n
iGn r

n n
C e
n
iG n r
Gn为倒格矢，Gn n1b1 n2b2 n3b3，n1、n2、n3 Z 1 iGn r Cn Γ (r )e dr (Gn ) (Gn )是Γ (r )的傅里叶变换 V n iGn r v v Γ (r ) (Gn )e ＝ Γ (r ) (G )
n1 n2 n3 n1 n2 n3
Ce
n
iG n r

n n
C e
n
iG n r
Γ (r ) ＝
n1 n2 n3 n1 n2 n3
n
n
傅 里 叶 变 换 ： F ( )


-
f (t )e it dt

1 傅 里 叶 逆 变 换 ：(t ) f 2

-
F ( )e
it
d
2 T
总结：
晶体点阵 实际晶体结构 显微图像 倒易点阵 虚构 衍射图像
微观粒子
线度量纲：L
一族晶面
线度量纲：L－1
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三斜晶系和单斜晶系
c
1度旋转
c
a

b
2π/1

abc

a

b

简单三斜 点群：1 简单单斜 底心单斜
a≠b≠c
α=γ=90º
β＞90º
三斜晶系
返回 旋转
一个2度轴或1个对称面，2，m，2/m 单斜晶系
又名石青，化学成分Cu3[CO3]2(OH)2，单斜晶 系斜方柱晶类。
2. 倒格子点阵与正格子点阵的关系
(1) 两个点阵基矢之间的关系： i 2， j ai b j 2ij 0，i j
a 2 a3 b1 2 V a3 a1 b2 2 V b 2 a1 a 2 3 V
(5)倒易点阵与正点阵互为倒易点阵 (6)倒易点阵与正点阵有相同的宏观对称性
倒格矢和正点阵晶面族示意图
a1 a3 CA ＝OA OC h1 h3 a 2 a3 CB ＝OB OC h2 h3 CA Gh 0 Gh CA CB Gh 0 Gh CB
1.7 晶体的宏观对称性与晶格结构的分类
系统的一些要素等价。
对称性使系统的描述简化。
晶体的对称操作：使晶体与自身重合的操作，操作 之后，点阵不变 。
1.7.1 晶体的对称性与对称操作
平移，旋转，镜反射， 中心反演。
பைடு நூலகம்
1.7.2 对称操作的变换关系
(1)旋转/转动：
如果晶体绕固定轴u旋转角度=2/n后，能与
(2) 两个点阵格矢之间的关系： 正点阵： 正格矢 Rl l1a1 l2 a 2 l3a3 l1、l2、l3 Z 倒易点阵： 倒格矢Gh h1b1 h2 b2 h3b3 h1、h2、h3 Z 则有： Rl Gh＝ Z 2 结论： 若两矢量点积为2的整数倍， 且其中一个矢量 为正点阵位矢， 则另一个矢量必为倒易点阵的位矢。
a=b≠c
α=β= 90º
c γ=120º
a 简单六方
a
一个6度轴
立方晶系
简单立方
体心立方
面心立方
四个3度轴 a=b=c α=β=γ=90º
(100)(010)(001)完全对称，可用{100}表示，称为等效
晶面
布喇菲原胞示意图
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作业：
2 如果晶体中存在i和n，则晶体中必有n；但晶 体中如果存在 n ，则未必有n和i。上述说法是否 正确，请举例说明。
晶系示意图
级别 晶系 三斜 布喇菲 原胞数 简单三斜 对称特征 没有对称轴或只有 一个反演中心 坐标系的性质 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90º β＞90º a≠b≠c α=β=γ=90º a=b=c α=β=γ≠90º
点群 符号
1，
低级
单斜
简单单斜， 底心单斜
简单正交， 底心正交， 体心正交， 面心正交。 简单三方 /三角 简单四方， 体心四方 简单六方/六 角
( Rl和Gh 不一定平行)
可见， Rl和 Gh的量纲是互为倒逆的， Rl是格点P的位 置矢量，称为正矢量， kh称为倒易矢量。 若令Gh= h1b1+h2b2+h3b3， 则称由b1，b2，b3为基矢构成的点阵为倒易点阵. (b1，b2，b3)如何确定？
1.9.2 倒格子空间(倒易点阵)*
1.倒矢与正格矢的关系：
a1 d h1h2 h3＝ h1
Gh a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 Gh h1 Gh Gh
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3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ (r ) r x1a1 x2 a2 x3 a3 x1、x2、x3 R 若有r ＝r Rl， Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 l1、l2、l3 Z 则有Γ (r ) Γ (r ) (示意图) Γ (r )为周期函数 将Γ (r )作傅里叶级数展开，有： Γ (r ) ＝
a1 ai a2 aj
a2 a3 b1 2 a a a 1 2 3 a3 a1 b2 2 a1 a2 a3
2 a 2 a
i j
离原点最近的倒 格点有４个： b1，-b1，b2，-b2．
正交晶系

简单正交

底心正交

体心正交

面心正交
a≠b≠c
α=β=γ=90º
有3个互相垂直的2度轴
三角晶系
四方晶系
a

a

a 简单三方 一个3度轴 a=b=c α=β=γ≠90º

简单四方

体心四方
一个4度轴
a=b≠c α=β=γ=90º
六角晶系