? 第一篇 经典力学
中国人民大学物理系徐靖编
第一篇 经典力学
质点运动学
首先要研究物体怎样运动， 首先要研究物体怎样运动，然后才能 研究物体为什么运动。 研究物体为什么运动。 —— 结构框图
运动学 质点和 (刚体 刚体) 刚体 参考系 坐标系 运动的 两类基 描述 本问题 相对 运动 （不讲）
伽利略
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二、确定质点位置的方法
坐标法
z
v r
参照物
y
O
x
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常见的坐标系： 直角坐标系， 常见的坐标系： 直角坐标系， 极坐标系， 极坐标系， 柱坐标系， 柱坐标系， 球坐标系， 球坐标系， 自然坐标系， 自然坐标系， …… z
r r
P y
角向
径向
v n
τ
P
v
质点运动的轨迹方程 由*式写出对应的参数方程： 式写出对应的参数方程：
x y z
= x(t) = y(t) = z(t)
消去参数 t
质点运动的 轨迹方程
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[例1]已知：质点的运动方程 1]已知： 已知
r r r 2 r = 2 ti + ( 2 − t ) j
(SI)
国际单位制 (1)质点的运动轨迹 质点的运动轨迹； 求： (1)质点的运动轨迹； (2)t (2) = 0s及t = 2s时，质点的位置矢量。 及 时 质点的位置矢量。
y
yB yA
A
r r r rB = x B i + y B j
r ∆x r rA rB
θ
r ∆r
B
∆y
v v v ∆r =( xB −xA )i +( yB − yA ) j r v =∆ xi +∆ y j
v ∆r = ( ∆ x )2 + ( ∆ y )2
O
x
xA xB
∆y θ = arctg ∆x
r r dr dx r dy r dz r v= i + j+ k = dt dt dt dt r r r = vxi + v y j + vzk
速度的大小： 速度的大小：
v v =
vx + v y + vz
2 2
2
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讨论： 讨论： （1）速度与速率的关系 ）
平均速度： 平均速度： 瞬时速度
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(2)路程： 路程： 路程
∆ s = ∫ ds
P
Q
y
0r r θ∆r r θ 4 o rθ ′ -2 r′ Q
2 P
x
ds = ( dx )2 + ( dy )2
x = 2t x2 ⇒ y = 2− 2 4 y = 2− t 1 ∴ dy = − xdx 2 于是 ds = (dx ) 2 + (dy ) 2 1 4 + x 2 dx = 2
解：(1) 先写参数方程
2t x = 2t 2 y = 2−t
x2 消去 t 得轨迹方程： y = 2 − 得轨迹方程： 4
质点的运动轨迹为抛物线
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(2) 位置矢量： 位置矢量： t=0时，x=0 y = 2 时 t=2时，x=4 y = -2 时 作图
r r r = 2 j r r r r ′ = 4i − 2 j
r v
A
r ∆r
速度是位矢对时间的一阶导数， 速度是位矢对时间的一阶导数，其方向沿轨道上质 点所在处的切线，指向前进的一侧。 点所在处的切线，指向前进的一侧。 注意速度的矢量性和瞬时性。 注意速度的矢量性和瞬时性。
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在直角坐标系中： 在直角坐标系中：
r r r r r = x i + yj + zk
r v =v ?
v ∆r ∆t ∆s ∆t
v Q ∆r ≠ ∆s r ∴ v ≠ v
r t 时刻：A, rA 时刻： r t + ∆t 时刻: B, rB
r B ∆r Ar r rA rB
∆t
时间内位置变化 O
r r r AB = rB − rA = ∆r
末 位 矢 初 位 矢
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直角坐标表示（以二维情况为例）： 直角坐标表示（以二维情况为例）：
r r r rA = x A i + y A j
P
r rP
O
r → rP = OP
(教材中，矢量用黑体表示) 教材中，矢量用黑体表示 教材中
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*直角坐标描述 单位矢量： 单位矢量：
o − xyz
r r r i , j, k
z
rγ k
z
P( x , y , z )
直角坐标中位矢的表达式
v v v v r = xi + yj + zk
y
2 P
r r θ
o
-2
4
x
rθ r′
′
Q
r = 2j r r r r ′ = 4i − 2 j
x2 y = 2− r 4 r
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位置矢量的大小： 位置矢量的大小：
y
2 P
r r = r = 2, r r′ = r ′ = 42 + (−2)2 = 4.47
位置矢量的方向： 位置矢量的方向：
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讨论： 讨论： 比较位移和路程
r ∆r = AB
∆
∆s
A
B
s = AB
∩
r ∆r
位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果， 位移：是矢量，表示质点位置变化的净效果，与质点 运动轨迹无关，只与始末点有关。 运动轨迹无关，只与始末点有关。 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长， 路程：是标量，是质点通过的实际路径的长，与质点 运动轨迹有关 直线（直进） 直线（直进）运动 r ∆r ≤ ∆s 何时取等号？ 何时取等号？ 曲线运动 ∆t → 0
dy
ds dx
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y
0r r θ∆r r θ 4 o rθ ′ -2 r′ Q
2 P
x
∆ s = ∫ ds = ∫
P
Q
4
1 = x 4 + x 2 + 4 ln x + 4 + x 2 4 + x dx 2
(
)]
4 0
注意：数学方法在物理问题中的应用。 注意：数学方法在物理问题中的应用。
dm = σ dS
λ dl
m = ∫ dm
不计物体在外力作用下产生的形变。 刚 体：不计物体在外力作用下产生的形变。 即：任意两质点间距离保持不变的质点系。 任意两质点间距离保持不变的质点系。 二、相互关系： 相互关系：
集合 特例
质点
质点系
刚体
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参考系和坐标系 运动是绝对的，对运动的描述是相对的。 一. 运动是绝对的，对运动的描述是相对的。 运动的绝对性： 运动的绝对性： •所有物体都处于运动、变化之中，绝对静止 所有物体都处于运动、变化之中， 所有物体都处于运动 的物体是不存在的。 的物体是不存在的。 描述运动的相对性： 描述运动的相对性： •只有事先选定一个作为参考的物体，才能具体 只有事先选定一个作为参考的物体， 只有事先选定一个作为参考的物体 描述物体如何运动 •选定的参考物体不同，对同一物体运动的描述 选定的参考物体不同， 选定的参考物体不同 可能有不同的结果。 可能有不同的结果。
伽利略（ 伽利略（意） 1564－ 1564－1642
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重点： 重点：
1.模型: 质点、质点系、刚体、 1.模型: 质点、质点系、刚体、 模型 2.概念：位矢、位移、速度、加速度； 2.概念：位矢、位移、速度、加速度； 概念 (角位置、角位移、角速度、角加速度)； 角位置、角位移、角速度、角加速度) 3.计算: 3.计算: 运动学的两类基本问题 计算 4.难点: 4.难点: 运动在不同坐标系的表述 难点 课时: 课时: 4
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二、参考系和坐标系 1. 参考系 为了描述一个物体的运动而选定的另一个作 为参考的物体（～观察者），叫参考系。 为参考的物体（～观察者），叫参考系。 （～观察者），叫参考系 任何实物物体均可被选作参考系; 任何实物物体均可被选作参考系;场不能作为 参考系。 参考系。 2. 坐标系 为了定量的描述物体的运动， 为了定量的描述物体的运动，在选定的参考系上建 立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 立的带有标尺的数学坐标,简称坐标系。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。 坐标系是固结于参考系上的一个数学抽象。
r r ∆r v = ∆t
平均速率
r r r dr ∆r v = lim = ∆t → 0 dt ∆t
瞬时速率
∆s v = ∆t
∆s ds v = lim = ∆t → 0 ∆ t dt
区别：速度是矢量，速率是标量。 区别：速度是矢量，速率是标量。
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讨论： 讨论：
（2）平均速度的大小是否等于平均速率？ ）平均速度的大小是否等于平均速率？
r r θ
o
-2
4
x
r r′
θ′
Q
2 θ = arctg = 90 o 0 r −2 ′与 x 轴之间的夹角 : θ ′ = arctg r = − 26 o 3 2′ 4 r r 与 x 轴夹角 :
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2.描述质点位置变动的大小和方向 2.描述质点位置变动的大小和方向——位移矢量 描述质点位置变动的大小和方向 位移矢量 定义： 定义：质点沿曲线运动