教 案
科目 数学 时间 学生
第17章 反比例函数
一．反比例函数的定义
形如y ＝
k
x
（k 为常数,且0k ≠）的函数统称为反比例函数,其中x 是自变量,y 是函数,自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数. 反比例函数的表达形式还有1(0)y kx k k -=≠是常数，,xy ＝k （k ≠0）.
例题1：（1）已知y 是x 的反比例函数,当x ＝2时,y ＝8,写出y 与x 的关系式,并求当y ＝－4时,x 的值；
（2）已知点（1,-2）在反比例函数k
y x =
的图象上,则k=____________.
二．反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的表示方法
和一次函数一样,反比例函数有表达式法,列表法,图象法三种,下面主要讲述图象x …… -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 ……
6y x
=
…… 6y x
=-
…… 两个图象.
反比例函数的图象由两条曲线组成,且随着x 的增大（或减小）,曲线越来越接近坐标轴.反比例函数的图象属于双曲线.
2．反比例函数的图象和性质,如下表：
函数图象性质
反比例函数y＝
k
x
（0
k≠）
k>0
双曲线,位于第一,
三象限,在每个象
限内,y随x的增大
二减小,与x轴,y轴
无交点
k<0
双曲线,位于第二,
四象限,在每个象
限内,y随x的增大
二增大,与x轴,y轴
无交点
例题2：反比例函数
4
y
x
=-
的图象大致是（）
例题3：如果函数y=kx-2（k≠0）的图象不经过第一象限,那么函数
k
y
x
=的图象一定在( )
A.第一、二象限
B.第三、四象限
C.第一、三象限
D.第二、四象限
3．（思考）当两个反比例函数的k的符号相同时,k对函数图象的影响
例题：在下面的平面直角坐标系中画出函数
2
y
x
=,
4
y
x
=和
6
y
x
=的图象,比较这三个函数图
象的特点.
例题5：如图是三个反比例函数312,,k k k
y y y x x x
=
==,在x 轴上方的图像,由此观察得到k l 、k 2、k 3的大小关系为（ ）
A.k 1>k 2>k 3
B. k 3>k 2>k 1
C. k 2>k 3>k 1
D. k 3>k 1>k 2
4．与反比例函数图象有关的图形
例题：如图所示,反比例函数4
y x
=
在第一象限的图象上一点P,过P 点分别作两条直线垂直于x 轴和y 轴,交点分别是A,B 求四边形OAPB 的面积.
例题：P 为反比例函数k
y x
=
（k>0）图象上任意一点,PQ 垂直于x 轴,垂足为Q,设POQ 的面积为S,则S 的值与k 的关系是_____________.
例题：如图,正比例函数y ＝kx （k>0）与反比例函数1
y x
=的
图象交于A,C 两点,过A 点作x 轴的垂线,交x 轴于B,过C 点作y 轴的垂线交y 轴于D,连结AB,BC,CD,AD.求证：当k 去不同正数时,四边形ABCD 的面积是常数.
练一练：
1.如图,∆OAP 和∆ABQ 均式等腰三角形,点P,Q 在函数4
y x
=(0)x >的图象上,直
角顶点A,B 均在x 轴上,求点B 的坐标___________.
5.求反比例函数解析式： （1）利用已知点代入解
例题：已知反比例函数(0)k
y k x
=
≠的图象经过点（1,-2）,则这个函数的表达式是___________,当x<0时,y 随着自变量x 的值的增大而__________.
练一练：
已知正比例函数y kx =与反比例函数y x
=
3
的图象都过A m ()，1,求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标.
（2）利用图象
例题：如图,某个反比例函数的图像经过点P,则它的解析式为（ ）
A.1(0)y x x =>
B.1
(0)y x x =->
C. 1(0)y x x =<
D. 1
(0)y x x
=->
练一练：
如图1所示,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线.直线AB 与双曲线的一个交点为C,CD 垂直x 轴于点D,OD OB OA ===244.求一次函数和反比例函数的解析式.
（3）根据实际应用求出
例题：近视眼的度数y （度）与镜片的焦距x （m ）成反比例,已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m,则y 与x 的函数关系式为________________. 练一练：
已知圆柱的侧面积是6πm 2,若圆柱的底面半径为x （cm),高为ycm ). （1）写出y 关于x 的函数解析式； （2）完成下列表格：
（3）在所给的平面直角坐标系中画出y 关于x 的函数图像．
三．反比例函数的实际应用
例题9：在某一电路中,保持电压不变,电流I（安培）与电阻R（欧姆）成反比例．当电阻R=5欧姆时,电流I=2安培．
(1)求I与R之间的函数关系式；
(2)当电流I= 0.5 安培时,求电阻R的值；
(3)如果电路中用电器的可变电阻逐渐增大,那么电路中的电流将如何变化？
(4)如果电路中用电器限制电流不得超过10安培,那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
练一练：
1.某蓄水池的排水管每小时排水量12m3, 8h可将满池水全部排空．
(1)蓄水池的容积是多少？
(2)如果增加排水管,使每小时的排水量达到x（m3),那么将满池水排空所需的时间y（h）将如何变化？
(3)写出y与x之间的关系式；
(4)如果准备在6h内将满池水排空,那么每小时的排水量至少为多少？
(5)已知排水管每小时的最大排水量为24m3,那么最少多长时间可将满池水全部排空？
2.反比例函数
k
y
x
和一次函数y=mx+n的图象的一个交点为A（-3,4）,且一次
函数的图像与x轴的交点到原点的距离为5.
(1)分别确定反比例函数与一次函数的解析式；
(2)设一次函数与反比例函数图像的另一个交点为B ,试判断∠AOB（点O为平面直角坐标系原点）是锐角、直角还是钝角？并简单说明理由．
3.你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面,面条的总长度y(m)是面条的粗细(横截面积)S(mm2)的反比例函数,其图像如图所示．
(1）写出y与S的函数关系式
(2）求当面条粗1.6mm2时,面条的总长度是多少
米？
练习题：
1.如图所示,该图象是反比例函数5
y x
m －＝
的一支.根据图象回答下列问题：
（1）图象的另一支在哪个象限？常数m 的取值范围是多少？（2）在该图象上取一点A （a,b ）和点B （c,d ）.如果a>c,那么b 和d 有什么关系？
2.如果y 是z 的反比例函数,z 是x 的反比例函数,那么y 与x 具有怎样的函数关系？
3.如图所示,直线y ＝kx （k>0）与双曲线4
y x =交于A （11,x y ）,B
（22,x y ）两点,则122127x y x y -的值等于____________.
4.如图,直线1y k x b =+与双曲线2
k y x
=
只有一个交点A （1,2）,且与x 轴,y 轴分别交于B,C 两点,AD 垂直平分OB,垂足为D,求直线和双曲线的解析式.
5.如图所示,直线y ＝kx+2于x 轴,y 轴分别交于点A,B,点C
（1,a ）是直线与双曲线m
y x
=的一个交点,过点C 作CD ⊥y
轴,垂足为D,且∆BCD 的面积为1. （1）求双曲线的解析式；
（2）若在y 轴上有一点E,使得以E,A,B 为顶点的三角形与∆BCD 相似,求点E 的坐标.
6.如图所示,矩形AOCB 的两边OC,OA 分别位于x 轴,y 轴上,
点B 的坐标为B （-20
3
,5）,D 是AB 边上的一点.将∆AOD 沿直线OD 翻折,使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处,若点E 在以反比例函数的图象上,那么该函数的解析式是______________________________.
7.如图,已知反比例函数1
y x
=
的图象上有一点P,过点P,分别作x 轴和y 轴的垂线,垂足分别为A,B,使四边形OAPB 为正方形,又在反比例函数的图象上有一点1P ,过1P 分别作BP 和y 轴的垂线,垂足分别为1A ,1B ,使四边形B 1A 1P 1B 为正方形,求点1P 的坐标.
8.如图所示,如果函数y ＝-x 与4
y x
=
的图象相交于A,B 两点,过点A 作AC 垂直于y 轴,垂足为C 则∆BOC 的面积为___________.
9.图中正比例函数和反比例函数的图像相交于A 、B 两点,分别以A 、B 两点为圆心,画与y 轴相切的两个圆.若点A 的坐标为（1,2),则图中两个阴影面积的和是 .
10.如图,Rt △ABO 的顶点A 是双曲线k
y x
=与直线
y=-x+(k+1)在第四象限的交点,AB ⊥x 轴于 B 且
S AOC =32
,
(1）求这两个函数的解析式； (2）求直线与双曲线的两个交点A 、C 的坐标和△AOC 的面积．。