第三章 狭义相对论P143．3．1 地球虽有自转，但仍可看成一较好的惯性参考系，设在地球赤道和地球某一极（例如南极）上分别放置两个性质完全相同的钟，且这两只钟从地球诞生的那一天便存在．如果地球从形成到现在是50亿年，请问那两只钟指示的时间差是多少？[解答]地球的半径约为R = 6400千米 = 6.4×106(m)，自转一圈的时间是T = 24×60×60(s) = 8.64×104(s)，赤道上钟的线速度为v = 2πR/T = 4.652×102(m·s -1)．将地球看成一个良好的参考系，在南极上看赤道上的钟做匀速直线运动，在赤道上看南极的钟做反向的匀速直线运动．南极和赤道上的钟分别用A 和B 表示，南极参考系取为S ，赤道参考系取为S'．A 钟指示S 系中的本征时，同时指示了B 钟的运动时间，因此又指示S'系的运动时．同理，B 钟指示S'系中的本征时，同时指示了A 钟的反向运动时间，因此又指示S 系的运动时．方法一：以S 系为准．在S 系中，A 钟指示B 钟的运动时间，即运动时Δt = 50×108×365×24×60×60 = 1.5768×1016(s)．B 钟在S'中的位置不变的，指示着自己的本征时Δt'．A 钟的运动时Δt 和B 钟的本征时Δt'之间的关系为t '∆=，可求得B 钟的本征时为21[1()]2v t t c'∆=∆≈-∆， 因此时间差为21()2v t t t c'∆-∆≈∆= 1.898×105(s)． 在南极上看，赤道上的钟变慢了．方法二：以S'系为准．在S'系中，B 钟指示A 钟的反向运动时间，即运动时Δt' = 50×108×365×24×60×60 = 1.5768×1016(s)．A 钟在S 中的位置不变的，指示着自己的本征时Δt ．B 钟的运动时Δt'和A 钟的本征时Δt 之间的关系为t '∆=，可求得A 钟的本征时为21[1()]2v t t t c'∆=∆≈-∆， 因此时间差为21()2v t t t c''∆-∆≈∆= 1.898×105(s)． 在赤道上看，南极上的钟变慢了．[注意]解此题时，先要确定参考系，还要确定运动时和本征时，才能正确引用公式． 有人直接应用公式计算时间差t t t '''∆-∆=-∆2211[1()]()22v v t t t c c'''≈+∆-∆=∆， 由于地球速度远小于光速，所以计算结果差不多，但是关系没有搞清．从公式可知：此人以S 系为准来对比两钟的时间，Δt'是B 钟的本征时，Δt 是A 钟的运动时，而题中的本征时是未知的．也有人用下面公式计算时间差，也是同样的问题．t t t '∆-∆=-∆2211[1()]()22v v t t t c c≈+∆-∆=∆3．2 一根直杆在S 系中观察，其静止长度为l ，与x 轴的夹角为θ，S'系沿S 系的x 轴正向以速度v 运动，问S'系中观察到杆子与x'轴的夹角若何？[解答]直杆在S 系中的长度是本征长度，两个方向上的长度分别为 l x = l cos θ和 l y = l sin θ．在S'系中观察直杆在y 方向上的长度不变，即l'y = l y ；在x 方向上的长度是运动长度，根据尺缩效应得xx l l '= 因此tan y xl l θ''=='，可得夹角为21/2arctan{[1(/)]tan }v c θθ-'=-．3．3 在惯性系S 中同一地点发生的两事件A 和B ，B 晚于A 4s ；在另一惯性系S'中观察，B 晚于A 5s 发生，求S'系中A 和B 两事件的空间距离？[解答]在S 系中的两事件A 和B 在同一地点发生，时间差Δt = 4s 是本征时，而S'系中观察A 和B 两事件肯定不在同一地点，Δt' = 5s 是运动时，根据时间膨胀公式t '∆=，即45=，可以求两系统的相对速度为v = 3c /5．在S'系中A 和B 两事件的空间距离为Δl' = v Δt' = 3c = 9×108(m)．3．4 一个“光钟”由两个相距为L 0的平面镜A 和B 构成，对于这个光钟为静止的参考系来说，一个“滴答”的时间是光从镜面A 到镜面B 再回到原处的时间，其值为002L cτ=．若将这个光钟横放在一个以速度v行驶的火车上，使两镜面都与v垂直，两镜面中心的连线与v平行，在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”τ与τ0的关系怎样？[解答]不论两个“光钟”放在什么地方，τ0都是在相对静止的参考系中所计的时间，称为本征时．在铁轨参考系中观察，火车上钟的一个“滴答”的时间τ是运动时，所以它们的关系为τ=3．5 S 系中观察到两事件同时发生在x 轴上，其间距为1m ，S'系中观察到这两个事件间距离是2m ，求在S'系中这两个事件的时间间隔．[解答]根据洛仑兹变换公式x vt x -'=和2t '=，得两个事件的空间和时间间隔公式x '∆=， （1a ）2t '∆=（1b ）由题意得：Δt = 0，Δx = 1m ，Δx' = 2m ．因此x '∆=， （2a ）2/xv ct -∆'∆=． （2b ）由（2a ）式得它们的相对速度为v = （3）将（2b ）式除以（2a ）式得2t v x c'∆=-'∆，所以t '∆=-=-10-8(s)．[注意]在S'系中观察到两事件不是同时发生的，所以间隔Δx' = 2m 可以大于间隔Δx =1m ．如果在S'系中观察到两事件也是同时发生的，那么Δx'就表示运动长度，就不可能大于本征长度Δx ，这时可以用长度收缩公式x '∆=∆3．6 一短跑运动员，在地球上以10s 的时间跑完了100m 的距离，在对地飞行速度为0.8c 的飞船上观察，结果如何？[解答]以地球为S 系，则Δt = 10s ，Δx = 100m ．根据洛仑兹空间时间变换公式x '=和2t '=，飞船上观察运动员的运动距离为x '∆==-4×109(m)．运动员运动的时间为2t '∆=100.8100/0.6c-⨯=≈16.67(s)．在飞船上看，地球以0.8c 的速度后退，后退时间约为16.67s ；运动员的速度远小于地球后退的速度，所以运动员跑步的距离约为地球后退的距离，即4×109m ．在飞船上看，地球后退的距离为22earth x v t ''∆=-∆=-22(1/)v t x x v c ∆-∆+∆-=-∆-∆=-∆在飞船上看，运动员在地球上运动的距离为earth x x ''∆-∆=∆60(m )==，这是地球上的100m(固有长度)在飞船上看到的运动长度。

3．7(与书中题不同) S 系中有一直杆沿x 轴方向装置且以0.98c 的速度沿x 轴正方向运动，S 系中的观察者测得杆长10m ，另有一观察者以0.8c 的速度沿S 系x 轴负向运动，问该观察者测得的杆长若何？[解答]在S 系中的观测的杆长Δl = 10m 是运动长度，相对杆静止的参考系为S'，其长度是本征长度，设S'系相对S 系的速度为v 10，根据尺缩效应l l ∆=∆，可得杆的本征长度为l '∆=== 50.25(m)．另一参考系设为S''系，相对S 系的速度为v 20 = -0.8c ．在S''系观察S'系的速度为102012210201/v v v v v c-=-0.98(0.8)10.98(0.8)c c --=--= 0.99796c ．在S''系观察S'系中的杆的长度是另一运动长度l l ''∆=∆．[注意]在涉及多个参考系和多个速度的时候，用双下标能够比较容易地区别不同的速度，例如用v 10表示S'相对S 系的速度，用v 12表示S'系相对S''系的速度，因此，尺缩的公式也要做相应的改变，计算就不会混淆．3．8 已知S'系以0.8c 的速度沿S 系x 轴正向运动，在S 系中测得两事件的时空坐标为x 1 = 20m ，x 2 = 40m ，t 1 = 4s ，t 2 = 8s ．求S'系中测得的这两件事的时间和空间间隔．[解答]根据洛仑兹变换可得S'系的时间间隔为221t t ''-=840.8(4020)/0.6c---=≈6.67(s)．空间间隔为21x x ''-=40200.8(84)0.6c --⨯-=≈-1.6×109(m)．3．9 一飞船和慧星相对于地面分别以0.6c 和0.8c 速度相向运动，在地面上观察，5s 后两者将相撞，问在飞船上观察，二者将经历多长时间间隔后相撞？[解答]方法一：用时间膨胀公式．以地面为S 系，以飞船为S'系，S 和S'系对应的方向平行，飞船的方向与S 系中x 轴的方向相同v = 0.6c ． 设S'系中飞船与慧星碰撞的时间间隔为Δt'，由于碰撞发生在S'系中飞船处，因此飞船静止的时间Δt'是本征时．在S 系中的时间间隔为Δt = 5s ，是飞船运动的时间，因此是运动时．根据时间膨胀公式t '∆=，可得飞船上观察到的时间间隔为t '∆=∆== 4(s)．方法二：用洛仑兹正变换．飞船与慧星在S 系中的时空坐标分别为(x 1,t 1)和(x 2,t 2)，在S'系中的时空坐标分别为(x'1,t'1)和(x'2,t'2)，根据洛仑兹坐标变换公式可得21x x ''-=，(1)221t t ''-=． (2)其中t 2 – t 1 = 5s ．在S'系中飞船和彗星碰撞发生在同一点，即x'2 = x'1，由(1)式得x 2 – x 1 = v (t 2 – t 1)，代入(2)式得2221t t ''-=21(t t =-．方法三：用洛仑兹逆变换．根据洛仑兹时间逆变换公式可得221t t ''''-=，由于x'2 – x'1 = 0，所以21t t ''-=可得2121(t t t t ''-=-． [注意]此题用时间膨胀的公式最简单，如果两事件发生在不同地点和不同时间，就一定要用洛仑兹变换．此题结果与慧星的速度无关，如果要计算慧星与飞船的相对速度，就需要利用慧星的速度值．3．10 在太阳参考系中观察，一束星光垂直射向地面，速率为c ，而地球以速率u 垂直于光线运动．求在地面上测量，这束星光的大小与方向如何． [解答]方法一：用速度变换．取太阳系为S 系，地球为S'系．在S 系中看地球以v = u 运动，看星光的速度为u x = 0，u y = c ．星光在S'系中的速度分量为21/x xx u v u u u v c-'==--，21/y yx u u u v c'=-==星光在S'系中的速度为u c '==， 即光速是不变的．星光在S'系中与y'轴的夹角，即垂直地面的夹角为||arctanarctanx yu u u θ''=='．方法二：用基本原理．根据光速不变原理，在地球的S'系中，光速也为c ．当地球以速度v = u 沿x 轴运动时，根据速度变换公式可得星光的速度沿x'轴的分量为u x ' = -u ，所以星光速度沿y'轴的分量为yu '==从而可求出星光速度垂直地面的夹角为||arctanarctanx yu u θ''=='．[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S 系，另外一个相对静止的系统作为S'系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．此题与书中的例题3.4类似，这里的太阳相当于3.4题中的地球，这里的地球相当于乙飞船，星星相当于甲飞船．3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？[解答]（1）粒子的非相对论动能为E k = m 0u 2/2， 相对论动能为E'k = mc 2 – m 0c 2，其中m 为运动质量m =．根据题意得22200m c m u -=，设x = (u/c )2，方程可简化为1x =+，或1(1x =+ 平方得1 = (1 – x 2)(1 - x )，化简得x (x 2– x -1) = 0．由于x 不等于0，所以x 2 - x -1 = 0．解得2x =，取正根得速率为u =c ．（2）粒子的非相对论动量为p = m 0u ，相对论动量为p m u '==，根据题意得方程02m u m u =．很容易解得速率为2u c == 0.866c ．3．12 某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J ，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J ，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s ，求其能通过的距离． [解答]在相对论能量关系中E = E 0 + E k ， 静止能量E 0已知，且E 0 = m 0c 2，总能量为22E m c ===化得000kE E EE E ==+，解得速率为u =粒子的运动时为0kE E t t t E '+∆'∆==∆．粒子能够通过的距离为l u t c t ∆=∆=∆8310 2.610-=⨯⨯⨯．3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：u c =．[证明]根据上题的过程已得u =将E = E 0 + E k 代入公式立可得证．3．14 静止质子和中子的质量分别为m p = 1.67285×10-27kg ，m n = 1.67495×10-27kg ，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m 0 = 3.34365×10-27kg ，求结合过程中所释放出的能量． [解答]在结合过程中，质量亏损为 Δm = m p + m n - m 0 = 3.94988×10-30(kg)，取c = 3×108(m·s -1)，可得释放出的能量为ΔE = Δmc 2 = 3.554893×10-13(J)．如果取c = 2.997925×108(m·s -1)，可得释放出的能量为ΔE = 3.549977×10-13(J)．。