浅析轻绳、轻杆和轻弹簧模型的应用
山西泽州县第一中学成文荣李智涛 048000
轻绳、轻杆和轻弹簧，是力学中三个重要的理想模型,在高中物理解题中有着重要的地位，为了帮助学生正确地分析和解决与轻绳、轻杆和轻弹簧有关的问题，笔者对三个模型的相同点和不同点进行了总结，并想通过一定的实例，对学生学习和应用给与启迪思考。
一、三个模型的相同点
1、“轻”- 不计质量，不受重力。
2、在任何情况下,沿绳、杆和弹簧伸缩方向的张力、弹力处处相等.
二、三个模型的不同点
1、形变特点
轻绳—可以任意弯曲，但不能伸长,即伸长形变不计。
轻杆—不能任意弯曲，不能伸长和缩短，即伸缩形变不计。
轻弹簧—可以伸长,也可以缩短,且伸缩形变不能忽略不计。
2、施力和受力特点
轻绳 - 只能产生和承受沿绳方向的拉力.
轻杆 - 不仅能产生和承受沿杆方向的拉力和压力，还能产生和承受不沿杆方向的拉力和压力。
轻弹簧—可以产生和承受沿弹簧伸缩方向的拉力和压力。
3、力的变化特点
轻绳—张力的产生、变化、或消失不需要时间,具有突变性和瞬时性。
轻杆 - 拉力和压力的产生、变化或消失不需要时间,具有突变性和瞬时性.
轻弹簧—弹力的产生、变化或消失需要时间,即只能渐变，不具有瞬时性,
且在形变保持瞬间，弹力保持不变。
(注意 :当弹簧的自由端无重物时，形变消失
不需要时间）
4、连接体的运动特点
轻绳 - 轻绳平动时,两端的连接体沿绳方向的速度（或速度分量)总是相等，
且等于省上各点的平动速度；轻绳转动并拉直时，连接体具有相同的角速度，而线
速度与转动半径成正比。
轻杆—轻杆平动时，连接体具有相同的平动的速度;轻杆转动时，连接体
具有相同的角速度，而线速度与转动半径成正比.
轻弹簧—在弹簧发生形变的过程中，两端连接体的速率不一定相等；在弹
簧形变最大，即弹性势能最大时，两端连接体的速率相等；在弹簧转动时，连接体
的转动半径随弹力变化,速度方向不一定垂直于弹力。
5、作功和能量转化特点
轻绳 - 在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，绳的拉力都不作
功；在绳突然拉直的瞬间,有机械能转化为绳的内能，即机械能不守恒.
轻杆—在连接体作匀速率和变速率圆周运动的过程中，轻杆的法向力对物
体不作功，而切向力既可以对物体作正功，也可以对物体作负功,但系统机械能守
恒。
轻弹簧—弹力对物体作功，系统机械能守恒；弹力作正功，弹性势能减少，
物体动能增加；弹力作负功，弹性势能增加，物体动能减少。
三、例析
例1. 如图1所示，质量为m的小球，静止悬挂在空中，且OB水平,OA与竖
直方向成θ角,试分析，在下列条件下，当绳OB刚断开时，OA的拉力是多少?
(1）、OA为细皮筋; （2）、OA为细绳。
图2 分析：（1）当OA 为细皮筋时，相当于一
根轻弹簧。
在OB 断开瞬间，拉力为零，
重力（mg ）为恒力不变，且OA 的弹力保
持不变，即与OB 未断开时的拉力相同。
所以,可以视为静力学
问题.根据三力
平衡条件，OA 的弹力为 F=mg/cos θ
（2）当OA 为细绳时，OB 一断开拉力立即为零,OA 的拉力
也随即改变。
这时，小球在拉力和重力的作用下,由静止开始做变速圆周运动（图2）。
因为这时速度为零，根据牛顿第二定律，有
T －mgcos θ=mv 2/l=0
所以，拉力为 T =mgcos θ
请想一想:这时OA 的拉力与OB 断开前的拉力之比是多少？OB 断开瞬间，小球的运动加速度是多少？
例2。
如图3所示,小车上固定着弯成ß角的轻杆，杆端固定质量为m 的小球，小车以加速度a 水平向右运动，试分析、
讨论杆端对小球的作用力的大小和方向。
分析:首先,应该注意连接小球的是轻
杆而不是轻绳，所以对小球的作用力不一定沿杆的方向。
因为拉力（T ）与重力（mg ）的合力
大小等于，根据勾股定理，拉力的大小为 T= [(ma ）2+（ mg ）2］1/2=m (a 2+g 2)1/2
拉力与竖直方向的夹角θ可表示为θ＝tg -1
(a/g ）.
可以看出：θ角随加速度a 的增大而增大。
图3
当a＝0时：T= mg , θ=0-——拉力竖直向上;
当a＝gtgß时：T= mg（1＋tg2ß）1 /2= mg/cosθ，θ=ß-—-拉力沿杆方向;
注意：这个临界加速度，可以利用逆向思维方法.由θ=ß简捷的得出.
当a»g时，T≈ ma，θ≈900――拉力趋于水平方向.
当a«g时,T≈ mg，θ≈0――拉力趋于竖直方向.
请读者想一想：如果小球由一段轻绳或者轻弹簧连接，结果如何?
例3:如图4所示，质量相同的A、B两球用细绳相连，然后由轻弹簧竖直悬挂。
求将细绳烧断瞬间，A、B的加速度是多少？方向如何？
分析：在细绳烧断之前，两球受到的平衡力如图所示。
在细绳烧断瞬间间，拉力(T）消失，而弹簧弹力不变，即
T＝2 mg
图4
根据牛顿第二定律，A、B的加速度分别为
a A=(F－mg)/m=g－－方向竖直向上。
a B=mg/m=g－－方向竖直向下。
请读者想一想：如果将连接A、B球的细绳换成轻杆或者轻弹簧结果如何？
例4：如图5所示，质量为m的小球，由劲度系数为k的轻弹簧悬挂在天花板上.将小球从水平位置无初速释放。
小球到达最低点时，弹簧由自然长度 l0增至l.
图5
图6 关于小球在最低点的情况，下列哪些说法正确？
(A ）小球速度为v=(2gl ）
1/2 （B)小球速度为v ＜ (2gl)1/2（C)小球受到的拉力为F=k （l 0－l ）
（D ）小球受到的拉力为F= mg ＋v 2/l.
（v 为小球在最低的速度）
分析：在小球下摆的过程中，弹力做负
功,重力做正功；当到达最低点时，小球的重力势能转化为
球的动能转化为球的动能和弹簧的弹性势能。
根据机械能
守恒 mgl=1/2mv 2+1/2k （l －l 0)2 则达到最低点的速度为v = ［2gl －k (l －l 0)2/m ］1/2＜(2gl ）
1/2 小球在最低点的速度方向不垂直弹簧，即曲率半径不是l 。
因此，不能根据公式F －mg =mv 2
/l 来计算弹簧的拉力或小球的速度。
所以，应选答案(B ）和（C ）
例5：如图6所示，A 、B 两球由轻杆连接，可绕O 点自由转动，在水平位置无初速释放,到转至竖直位置的过程中,下列说法正确的是？
(A ）杆对A 做负功，A 的机械能减少；
（B ）杆对B 做正功，B 的机械能增加；
（C ）A 、B 系统的机械能守恒；
（D)杆对A 、B 不做功，A 、B 各自的机械能守恒。
分析:为了使问题简化，设两球质量相等，且A位于杆的中点L/2处.
以系统为研究对象,因为系统与外界无任何形式的能量交换;在系统内部又无机械能和内能的转化，即只有重力做功，所以系统机械能守恒。
以每个球的竖直位置为各自的零势能点，根据机械能守恒,有
1/2 mgl+mgl=1/2mv A2+1/2mv B2 (1）
根据v＝wR∝R,还有 v B=2v A (2)
所以，两球在竖直位置的动能分别为
E A=1/2mv A2=3/10mgl E B=1/2mv B2=5/6mgl
假设轻杆上只有A球或B球.当各自单独转到竖直位置时,根据机械能守恒，其动能分别为
E AO=1/2mv A2＞E A E BO=1/2mv B2＜E B
从上面分析,可以得出以下结论：
（1）当轻杆上只有一个小球时，每个小球的机械能守恒；
（2）当轻杆上有两个小球时，系统的机械能守恒，而每个小球的机械能不守恒;
(3）当轻杆上有两个小球时,杆的切向力对距转轴教远的（B）球作正功—-B的动能增加；杆的切向力对距转轴教远的（A）球作负功—-A的动能减少.
所以，应选答案（A）、（B）和（C）。