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二、对面积的曲面积分的计算法
定理: 设续, 则曲面积分
o
y
f (x, y, z) dS 存在, 且有
x Dxy
( k )x y
f (x, y, Dx y
证明: 由定义知
)
n
lim
0 k 1
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而
( k )xy 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y) dxd y
曲面面积为
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对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.
• 积分的存在性.
在光滑曲面上连续,
则对面积的曲面积分存在. • 对积分域的可加性.若是分片光滑的, 例如分成
两片光滑曲面 1, 2, 则有
f (x, y, z) d S 1 f (x, y, z) d S
• 线性性质.
k1 f (x, y, z) k2g(x, y, z)d S k1 f (x, y, z) dS k2 g(x, y, z) dS
定义:设为光滑曲面, f(x,y,z)是定义在上的一 个有界函数, 若对做任意分割和局部区域任意取点
“乘积和式极限”
记作 f (x, y, z)d S
都存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分.其中f(x,y,z)叫做被积 函数, 叫做积分曲面.
据此定义, 曲面形构件的质量为M (x, y, z) d S
解: 锥面 z x2 y2与上半球面z a2 x2 y2 的
交线为
设 1为上半球面夹于锥面间的部分, 它在xoy面
上的投影域为
Dxy (x, y)
x2
y2
1 2
a2
,
则
I (x2 y2 ) d S 1
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I (x2 y2 ) d S 1
(x2 y2)
Dx y
用球坐标 z R cos d S R2 sin d d
R3
2 d
2 sin cos d
0
0
R 2 d
2 sin d
0
0
思考题: 例3是否可用球面坐标计算?
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例5.计算 解:取球面坐标系,则
: x2 y2 z2 R2.
2
d
R2 sin R cos
d
00
2
R
d( R cos R cos
z = y下方那部分柱面的侧面积S.
解: S dS
取 dS zds
L z ds L y ds
3
5 4cos2 t dcos t
0
z oz y
L ds x
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例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面高度
h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,
试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.
1 x
1y
4 xyz d S
4 : z 1 x y,
(x,
y)
Dxy
:
0
0
y
x
1 1
x
1
1 x
3 x dx y(1 x y) dy
0
0
3 120
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例3. 设 : x2 y2 z2 a2
z 1
计算 I f (x, y, z) d S .
x o Dx y y
a
dxd y
a2 x2 y2
2
d
1 2
2a
a r2
r dr
0
0
a2 r2
1 a4 (8 5 2)
6
思考: 若例3中被积函数改为
z 1 x o Dx y y
计算结果如何?
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例4. 求半径为R的均匀半球壳的重心.
解: 设的方程为
利用对称性可知重心的坐标 x y 0 , 而
0
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思考: 若是球面
出的上下两部分, 则
dS z
(
0
)
dS z
(
4 a ln a
h
)
被平行平面z =±h截
z
h o
y x h
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例2. 计算
其中是由平面
与
坐标面所围成的四面体的表面.
z
解: 设 1, 2, 3, 4分别表示在平面 1
上的部分,则 o
原式= 1 2 3 4 xyz dS
(地球半径R=6400km)
z
解: 建立坐标系如图覆, 盖曲面的
Rh
半顶角为, 利用球坐标系, 则
d S R2 sin d d
卫星覆盖面积为
A d S
R
2
2
0
sin
d
0
d
2 R2 (1 cos ) 2 R2 h
Rh
o
R
y
x
cos R
Rh
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故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为
)
0
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例6. 计算
其中是球面 x2 y2
z2 2(x y z).
解: 显然球心为 (1,1,1), 半径为 3
利用对称性可知
I
2 3
(
x
2
y
2
z2)dS
4 3
(x
y z) d S
xd S yd S zd S 利用重心公式
4 xd S 4 x d S
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (x, y, z) dS
f (k ,k , z(k ,k ))
1 zx2 (k , k ) z y2 (k , k ) ( k )xy
f (k ,k , z(k ,k ))
(光滑)
1
z
2 x
(k
,
k
)
z
y
2
(
k
,
k
)
x xd S d S
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例7. 计算
其中是介于平面
之间的圆柱面
分析: 若将曲面分为前后(或左右) z
两片, 则计算较繁. 解: 取曲面面积元素
则
I
H 2 R dz
0 R2 z2
2 arctan H
R
H
z dz
o
y
x
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例8. 求椭圆柱面
位于xoy面上方及平面
A
4 R2
h 2( R h)
36 106 2(36 6.4) 106
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例1. 计算曲面积分
其中是球面
被平面
截出的顶部.
解:
z
Dxy : x2 y2 a2 h2
1
z
2 x
z
2 y
h o
Dxy a y x
dS z
a dxdy
2
Dxy a2 x2 y2 a 0 d
a2 h2 rd r
0
a2 r2
2
a
1 ln(a2 2
r2)
a2 h2
(
k
)
x
y
f (x, y, Dx y
) 1 zx2 (x, y) z y2 (x, y)dxdy
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说明: 1)如果曲面方程为
x x( y, z), ( y, z) Dyz
或 y y(x, z), (x, z) Dxz 可有类似的公式. 2)若曲面为参数方程, 只要求出在参数意义下dS 的表达式, 也可将对面积的曲面积分转化为对参数 的二重积分. (见本节后面的例4, 例5)