抽象函数问题分类解析抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可以利用特殊模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多层面去分析研究抽象函数问题, 一:函数性质法函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题才能转化,化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,利用周期性回归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等. 二:特殊化方法1在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x 换成-x 或将x 换成等 2在求函数值时,可用特殊值代入3研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合题,的解答提供思路和方法.(1)、线性函数型抽象函数f （x ）＝kx （k ≠0）-------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ）(2)、二次函数型抽象函数m a x k x f +-=2)()(——— )()(x a f x a f -=+(3)、指数函数型的抽象函数 f （x ）＝a x------ f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)()(y f x f (4)、对数函数型的抽象函数f （x ）＝log a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （yx）＝ f （x ）－f （y ） 三：例题分析 1. 求定义域这类问题只要紧紧抓住：将函数f g x [()]中的g x ()看作一个整体，相当于f x ()中的x 这一特性，问题就会迎刃而解。

例1. 函数y f x =()的定义域为(]-∞，1，则函数y f x =-[log ()]222的定义域是___。

分析：因为log ()22x 2-相当于f x ()中的x ，所以log ()2221x -≤，解得22<≤x 或-≤<-22x 。

例2. 已知f x ()的定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12的定义域是______。

分析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a(1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1 (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，12. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。

例3. 已知f x ()的定义域为R ，且对任意实数x ，y 满足f xy f x f y ()()()=+，求证：f x ()是偶函数。

分析：在f xy f x f y ()()()=+中，令x y ==1， 得f f f f ()()()()11110=+⇒= 令x y ==-1，得f f f f ()()()()11110=-+-⇒-=于是f x f x f f x f x ()()()()()-=-⋅=-+=11 故f x ()是偶函数。

例4. 若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，求证：函数y f x =()是偶函数。

证明：设y f x =()图象上任意一点为P （x y 00，） y f x =()与y f x =-()的图象关于原点对称， ∴P x y ()00，关于原点的对称点()--x y 00，在y f x =-()的图象上，∴-=--∴=-y f x y f x 0000()()又y f x 00=() ∴-=f x f x ()()00即对于函数定义域上的任意x 都有f x f x ()()-=，所以y f x =()是偶函数。

3. 判断单调性根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。

例5. 如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那么f x ()在区间[]--73，上是A. 增函数且最小值为-5B. 增函数且最大值为-5C. 减函数且最小值为-5D. 减函数且最大值为-5例6. 设f （x ）定义于实数集上，当0>x 时，1)(>x f ，且对于任意实数x 、y ，有)()()(y f x f y x f ⋅=+，求证：)(x f 在R 上为增函数。

证明：在)()()(y f x f y x f =+中取0==y x ，得2)]0([)0(f f = 若0)0(=f ，令00=>y x ，，则0)(=x f ，与1)(>x f 矛盾所以0)0(≠f ，即有1)0(=f 当0>x 时，01)(>>x f ；当0<x 时，01)(0>>->-x f x ，而1)0()()(==-⋅f x f x f 所以0)(1)(>-=x f x f 又当0=x 时，01)0(>=f所以对任意R x ∈，恒有0)(>x f设+∞<<<∞-21x x ，则1)(01212>->-x x f x x ，所以)()()()]([)(11211212x f x x f x f x x x f x f >-=-+=所以)(x f y =在R 上为增函数。

评析：一般地，抽象函数所满足的关系式，应看作给定的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。

4. 探求周期性这类问题较抽象，一般解法是仔细分析题设条件，通过类似，联想出函数原型，通过对函数原型的分析或赋值迭代，获得问题的解。

常见结论:（1）f(x+a)=f(x),则T=a(a 是非零常数)。

（2）f(x+a)=-f(x),则T=2a(a 是非零常数)。

1(3)()()f x a f x +=±,则T=2a(a 是非零常数)。

例7. 设函数f x ()的定义域为R ，且对任意的x ，y 有f x y f x y f x f y ()()()()++-=⋅2，并存在正实数c ，使f c()20=。

试问f x ()是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：y x =cos 满足题设条件，且cos π20=，猜测f x ()是以2c 为周期的周期函数。

f x c c f x c c f x c f cf x c f x f x c f x c f x [()][()]()()()()()()()++++-=+=∴+=-∴+=-+=22222222故f x ()是周期函数，2c 是它的一个周期。

例8.设y=f (x) 是定义在实数集R 上的函数，且满足 f (－x) = f (x)与f (4－x)=f (x)，若当x ∈[0,2]时，f (x) =-－x 2+1 ,则当x ∈[－6 , －4 ]时f (x)= （ ）（A ）－x 2 +1 (B) －(x －2)2 +1 (C)－(x+4)2 +1 (D) － (x+2)2+1 5. 求函数值紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解。

例9. 已知f x ()的定义域为R +，且f x y f x f y ()()()+=+对一切正实数x ，y 都成立，若f ()84=，则f (2)=_______。

分析：在条件f x y f x f y ()()()+=+中，令x y ==4，得 f f f f ()()()()844244=+==， ∴=f ()42 又令x y ==2， 得f f f (4)(2)(2)=+=2， ∴=f (2)1例10. 已知f x ()是定义在R 上的函数，且满足：f x f x f x ()[()]()+-=+211，f ()11997=，求f (2001)的值。

分析：紧扣已知条件，并多次使用，发现f x ()是周期函数，显然f x ()≠1，于是f x f x f x ()()()+=+-211， f x f x f x f x f x f x f x f x ()()()()()()()()+=++-+=++--+-=-412121111111 所以f x f x f x ()()()+=-+=814 故f x ()是以8为周期的周期函数，从而f f f (2001)()()=⨯+==8250111997例11．设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数，f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)=_____。

分析：读懂题意，理解函数满足关系式f(x+2)＝-f(x)及f(-x)=-f(x)；将f(7.5)的求值问题转化到x ∈[0，1]范围内解决。

由f(x+2)=-f(x)，得f(x+4)=-f(x+2)＝f(x)，知f(x)是以4为一个周期的周期函数，于是f(7.5)=f(4×2-0.5)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5。

例12．已知f(x)是定义在实数集上的函数且满足f(x+2)(1-f(x))=1+f(x)，f(1)=1997，求f(2001)的值。

分析：易知f(x)1,所以有∴函数f(x)是以8为一个周期的周期函数，从而f(2001)=f(8×250+1)=f(1)=1997。

注：对一类抽象函数求值问题，充分利用周期性，化未知为已知。

例13.函数()f x 满足()(2)13,f x f x ⋅+=若(1)2,f =则(99)f =（ ）A.13B.2C.132 D. 213【解析】：由规则()(2)13,f x f x ⋅+=有(2)(4)13,f x f x +⋅+=∴()(4)f x f x =+，∴()f x 的周期T=4。

∴(99)f =(4243)(3)f f ⨯+=，再由规则()(2)13f x f x ⋅+=赋值，令1x =得(1)(12)13,f f ⋅+=∴13(3)2f =，即13(99)2f =.选C 。