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2019版 1微积分练习题(下) 第一章 答案

x2 y2 (2xdx 2 ydy)
所以
dz 1 (2dx 2dy) dx dy . (1,1) 2
2. 求 函 数 z x2 y3 当 x 2, y 1,
x 0.02, y 0.01 时的全增量及全
微分.
解:
z x
( 2, 1)
2xy3
(2,1)
4
z y
( 2, 1)
3x2 y2
x kx
k1
lim f (x, y) lim
lim
x0
y 2 kx
x0 x4 k 2 x2 x0 x2 k 2 k
该值与 k 有关,说明当 (x, y) 以不同方式趋于
(0,0) 时,函数趋于不同的值.所以,lim f (x, y) x0 y0
不存在.从而,函数在点 (0,0) 处不连续.
(x, y)(0,0)
解: lim 1 x2 y2 =1. (x, y)(0,0)
(2)
(
x,
lim
y)(1,2)
x x2
y y
.
解: lim x y = 1 2 = 1 .
x y (x, y)(1,2) 2
2
2
6.证明极限 lim x y 不存在. (x, y)(0,0) x y
证明:取直线 y kx , x 0 lim x y lim x kx 1 k x0 x y x0 x kx 1 k
1 y
f (u) 2 yf (u)
[ f (u)]2
[ f (u)]2
1 z. yf (u) y 2
6.设 z3 2xz y 0 ,求 2 z . xy
解: 设F (x, y, z) z3 2xz y
F z x 2z x F 3z2 2x
z F
z y
y F
1 3z2 2x
x
2z cos y cos x . xy
(3) z x ln( xy) ,求 2 z ; xy
解: z ln( xy) x 1 y ln( xy) 1
x
xy
2z 1 x 1 . xy xy y
(4)
z
arctan
y x
,求
2z x2
.
解: z 1 ( y ) y
x
1
(
而由偏导数的定义:
f x(0,0)
lim
x0
f (x,0) x
f
(0,0)
0
f y(0,0)
lim
x0
f
(0, y) y
f
(0,0)
0.
4
练习题 3
班级
学号
姓名
1. 求下列函数的全微分:
(1) z arcsin x ; y
解: dz
1 1
x y
2
d
x y
1 ( 1 dx x dy) .
轴的柱面.
4.求下列函数的定义域:
(1) z ln(y 2 4x 8) ;
解:定义域 D (x, y) y 2 4x 8 .
(2) z 1 1 . xy xy
解:定义域 D (x, y) x y 0且x y 0 .
1
5.求下列各极限
(1) lim
1 x2 y2 ;
班级
学号
姓名
1. 求下列函数的偏导数:
(1) z x y x 2 y 2 ;
解: z 1 x
x
x2 y2
z 1 y .
y
x2 y2
(2) z ln x ; y
解: z y 1 1 x x y x
z y
y x
x y2
1 y
.
(3) z arctan xy ;
解:
z x
zxx 6x 8, zxy 2, zyy 2 在点 (0,0) 处: zxy 2 zxx zyy 12 0
zxx (0,0) 8 0 所以在点 (0,0) 处取极大值 z(0,0) 0.
在点 (2,2) 处: zxy 2 zxx zyy 12 0 . 所以在点 (2,2) 处不取极值.
解: fx '(x, y) 2x 3y ,所以 fx '(2,1) 4 3=7 .
3
3.求下列函数的二阶偏导数:
(1)
z
x2y
,求
2z x 2

解: z 2 y x2 y1 x
2z x 2
2 y(2 y
1)
x2y2 .
(2) z xsin y y sin x ,求 2 z ;
xy 解: z sin y y cos x
解: z z u z v z w x u x v x w x
f (x, y) x2 +y2 , x0 1, y0 2, x 0.02, y 0.03,
(2u 4v) 2x 4u y 2w 2x 4(2x3 3x 2 y y3 )
(2u 4v) 2 y 4u x 2w (2 y)
z
2z xy
2
z y
(3z2 2x) 2z (3z2 2x)2
6z
z y
6z2 4x (3z2 2x)3
8
练习题 5
班级
学号
姓名
1. 求函数 z x3 4x2 2xy y 2 的极值.
解:由
z z
x y
3x2 8x 2y 2x 2y 0
0 得:
驻点为 (0,0), (2,2)
(2,1)
12
dz 4 0.02 12 (0.01) 0.2
z (2.02)2 (1.01)3 22 (1)3 . 0.20404
5
3. 计算
(1) 1.032.02 ;
fx (x, y) (1, 2)
x
1,
x2 +y2 (1, 2) 5
解:设
f (x, y) xy , x0 1, y0 2, x 0.03, y 0.02,
平面方程.
解:设 M (x, y, z) 为平面上任意一点,则 (x 3)2 ( y 2)2 (z 9)2
(x 6)2 ( y 0)2 (z 4)2 化简得: 9x 2y 13z 21.
3.指出下列各方程在平面解析几何和空间解析 几何中分别表示什么图形?
(1) y x 1;
y kx , x 0
lim
x0
f (x, y) lim x0
x kx x2 k2x2
1
k k
2
y0
该值与斜率 k 有关,说明当 (x, y) 以不同方
式趋于 (0,0) 时,函数趋于不同的值.
所以, lim f (x, y) 不存在.从而,函数在点 x0 y0
(0,0) 处不连续.
2
练习题 2
.
4(x3 3xy 2 2 y3 )
5. 设 z y ,而 x et , y 1 e2t ,求 dz .
x
dt
解: dz z dx z dy dt x dt y dt
y x2
et
1 x
(2e2t )
代入 x, y 化简得:
dz (et et ) . dt
z z u z v z w y u y v y w y
6
练习题 4
班级
学号
姓名
1. 设 u eax ( y z) ,而 y a sin x ,
a2 1
z cos x ,求 du .
dx 解: du u u dy u dz
dx x y dx z dx
aeax ( y z) eax a cos x eax ( sin x)
y0
该值与斜率 k 有关,说明当 (x, y) 以不同方式 趋于 (0,0) 时,函数趋于不同的值.所以,上述极
限不存在.
7.利用定义讨论函数
z
x
2
xy y2
,
0,
x 2 y 2 0, 的连续性. x2 y2 0
解:当 x 2 y 2 0 时,函数是二元初等函数,
所以是连续的.
当 x2 y 2 0 时 , f (0,0) 0 , 取 直 线
z f u f v eu sin v 1 eu cosv x y u y v y
3.求下列函数的一阶偏导数(其中 f 具有一阶偏
导数):
(1) u f (xy yz zx) ;
解:设 v xy yz zx
u f (v) ( y z) u f (v) (x z)
x
fy (x, y) (1, 2)
y
2,
x2 +y2 (1, 2) 5
fx (x, y) (1, 2) yx y1 (1, 2) 2,
所以
0.982 +2.032 f (1 0.02, 2 0.03)
f y (x, y) (1, 2) x y ln x (1, 2) 0,
所以
f (1, 2) fx (1, 2)x f y (1, 2)y
z yf (u) 2x x [ f (u)]2
u f (v) 2x 2x f (v) x
2u x 2
2
f
(v)
2x ) 4x2 f (v)
z f (u) yf (u) (2 y)
y
[ f (u)]2
1 z 1 z x x y y
2 yf (u)
y x
)
2
x2
x2 y2
2z
y 2x
2xy
.
x 2
(x2 y2)2 (x2 y2)2
xy 2
4.
设函数
f (x, y)
x
4
y4
,
0,
x 4 y 4 0; x 4 y 4 0;
证明 f (x, y) 在(0,0)处不连续但偏导数
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