第二章数论2.1数的组成2.1.1数字组数例1 用1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字组成质数，如果每个数字都要用到，并且只能用一次，那么这九个数字最多能组成______个质数。

讲析：自然数1至9这九个数字中，2、3、5、7本身就是质数。

于是只剩下1、4、6、8、9五个数字，它们可组成一个两位质数和一个三位质数：41和689。

所以，最多能组成六个质数。

例2 用0、1、2、……9这十个数字组成五个两位数，每个数字只用一次，要求它们的和是一个奇数，并且尽可能的大。

那么，这五个两位数的和是______。

讲析：组成的五个两位数，要求和尽可能大，则必须使每个数尽可能大。

所以它们的十位上分别是9、8、7、6、5，个位上分别是0、1、2、3、4。

但要求五个两位数和为奇数，而1+2+3+4=10为偶数，所以应将4与5交换，使和为：（9+8+7+6+4）×10+（1+2+3+5）=351。

351即本题答案。

例 3 一个三位数，如果它的每一个数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被另一个三位数“吃掉”。

例如，241被342吃掉，123被123吃掉（任何数都可以被与它相同的数吃掉），但240和223互不被吃掉。

现请你设计出6个三位数，它们当中任何一个数不被其它5个数吃掉，并且它们的百位上数字只允许取1、2；十位上数字只允许取1、2、3；个位上数字只允许取1、2、3、4。

这6个三位数是_______。

讲析：六个三位数中，任取两个数a和b，则同数位上的数字中，a中至少有一个数字大于b，而b中至少有一个数字大于a。

当百位上为1时，十位上可从1开始依次增加1，而个位上从4开始依次减少1。

即：114，123，132。

当百位上为2时，十位上从1开始依次增加1而个位上只能从3开始依次减少1。

即：213，222，231。

经检验，这六个数符合要求。

例4 将1、1、2、2、3、3、4、4这八个数字排成一个八位数，使得两个1之间有一个数字；两个2之间有两个数字；两个3之间有三个数字；两个4之间有四个数字。

那么这样的八位数中的一个是______。

讲析：两个4之间有四个数字，则在两个4之间必有一个数字重复，而又要求两个1之间有一个数，于是可推知，这个重复数字必定是1，即412134或421314。

然后可添上另一个2和3。

经调试，得23421314，此数即为所答。

2.1.2条件数字问题例1 某商品的编号是一个三位数，现有五个三位数：874，765，123，364，925。

其中每一个数与商品编号，恰好在同一位上有一个相同的数字，那么这个三位数是_______ 讲析：将五个数按百位、十位、个位上的数字分组比较，可发现：百位上五个数字都不同；十位上有两个2和两个6；个位上有两个4和两个5。

故所求的数的个位数字一定是4或5，百位上一定是2或6。

经观察比较，可知724符合要求。

例2 给一本书编页码，共用了1500个数字，其中数字“3”共用了_______个讲析：可先求出1500个数字可编多少页。

从第一页到第9页，共用去9个数字；从第10页到第99页，共用去2×90=180（个）数字；余下的数字可编（1500-189）÷3=437（页）所以，这本书共有536页。

l至99页，共用20个“3”，从100至199页共用20个“3”，从200至299页共用20个“3”，从300至399页共用去120个“3”，从400至499页共用去20个“3”，从500到536页共用去11个“3”。

所以，共用去211个数字3。

例3 在三位数中，数字和是5的倍数的数共有_______个。

讲析：可把三位数100至999共900个数，从100起，每10个数分为一组，得（100，101、……109），（110、111、……119），……（990、991、……、999）共分成了90组，而每组中有且只有两个数的数字和是5的倍数，所以一共有2×90=180（个）。

例 4 有四个数，取其中的每两个数相加，可以得到六个和。

这六个和中最小的四个数是83、87、92、94，原因数中最小的是______。

讲析：设原四个数从小到大为a、b、c、d，则有a+b=83，a+c=87，所以c比b大4。

而对于和为92和94时，或者是b+c=92，或者是b+c=94。

当b+c=92时，因c比b大4，可得b=45，进而可求得a=38。

当b+c=94时，因c比b大4，可得b=44，进而可求得a=39。

所以，原四数中最小的数是38或39。

例5 一个四位数abcd，增加它的8倍后，得到四位数dcba，那么原数abcd=______ 讲析：原四位数增加8倍后得新的四位数，也就是原四位数乘以9，得新四位数。

从而可知，a一定为1，否则积不能得四位数。

则d=9，进而可推abcd=1089。

例6 有两个两位数，它们的个位数字相同，十位数字之和是11。

这两个数的积的十位数字肯定不会是哪两个数字？讲析：由题意可知，两个数的十位上为（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），而个位上则可以是0至9的任意一个数字。

设这两个数的个位数字是c，十位数字分别为a、b，则a+b=11，两数分别为（10a+c)，（10b+c）。

（10a+c）×（10b+c）=100（ab+c）+（10c+c2）。

而100（ab+c）的个位和十位都是0，所以只需看10c+c2的十位数字。

把0至9这十个数字分别代入（10c+c2）中，由计算发现，十位上不能是6、8。

例7 日期的记法是用6个数字，前两个数字表示年份，中间两个数字表示月份，后两个数字表示日（如1976年4月5日记为760405）。

而1992年11月29日记作921129，这个数恰好左右对称。

因此这样的日期是“吉祥日”。

问：从87年9月1日到93年6月30日，共有_______个吉祥日。

讲析：一个六位数从中间分开，要求左右对称，则在表示月份的两个数中，只有11月份。

而且“年份”的个位数字只能是0、1、2。

所以是共有3个吉祥日：901109、911119、921129。

2.1.3页码问题顾名思义，页码问题与图书的页码有密切联系。

事实上，页码问题就是根据书的页码而编制出来的一类应用题。

编一本书的页码，一共需要多少个数码呢？反过来，知道编一本书的页码所需的数码数量，求这本书的页数。

这是页码问题中的两个基本内容。

为了顺利地解答页码问题，我们先看一下“数”与“组成它的数码个数”之间的关系。

一位数共有9个，组成所有的一位数需要9个数码；两位数共有90个，组成所有的两位数需要2×90＝180（个）数码；三位数共有900个，组成所有的三位数需要3×900＝2700（个）数码……为了清楚起见，我们将n位数的个数、组成所有n位数需要的数码个数、组成所有不大于n位的数需要的数码个数之间的关系列表如下：由上表看出，如果一本书不足100页，那么排这本书的页码所需的数码个数不会超过189个；如果某本书排的页码用了10000个数码，因为2889＜10000＜38889，所以这本书肯定是上千页。

例1 一本书共204页，需多少个数码编页码？分析与解：1～9页每页上的页码是一位数，共需数码1×9=9（个）；10～99页每页上的页码是两位数，共需数码2×90＝180（个）；100～204页每页上的页码是三位数，共需数码（204-100＋1）×3＝105×3＝315（个）。

综上所述，这本书共需数码9＋180＋315＝504（个）。

例2 一本小说的页码，在排版时必须用2211个数码。

问：这本书共有多少页？分析：因为189＜2211＜2889，所以这本书有几百页。

由前面的分析知道，这本书在排三位数的页码时用了数码（2211-189）个，所以三位数的页数有（2211-189）÷3＝674（页）。

因为不到三位的页数有99页，所以这本书共有99＋674＝773（页）。

解：99＋（2211—189）÷3＝773（页）。

答：这本书共有773页。

例3 一本书的页码从1至62、即共有62页。

在把这本书的各页的页码累加起来时，有一个页码被错误地多加了一次。

结果，得到的和数为2000。

问：这个被多加了一次的页码是几？分析与解：因为这本书的页码从1至62，所以这本书的全书页码之和为1＋2＋…＋61＋62＝62×（62＋1）÷2＝31×63＝1953。

由于多加了一个页码之后，所得到的和数为2000，所以2000减去1953就是多加了一次的那个页码，是2000—1953＝47。

例4 有一本48页的书，中间缺了一张，小明将残书的页码相加，得到1131。

老师说小明计算错了，你知道为什么吗？分析与解：48页书的所有页码数之和为1＋2＋…＋48＝48×（48＋1）÷2＝1176。

按照小明的计算，中间缺的这一张上的两个页码之和为1176—1131＝45。

这两个页码应该是22页和23页。

但是按照印刷的规定，书的正文从第1页起，即单数页印在正面，偶数页印在反面，所以任何一张上的两个页码，都是奇数在前，偶数在后，也就是说奇数小偶数大。

小明计算出来的是缺22页和23页，这是不可能的。

例5 将自然数按从小到大的顺序无间隔地排成一个大数：1234567891011l2…问：左起第2000位上的数字是多少？分析与解：本题类似于“用2000个数码能排多少页的页码？”因为（2000-189）÷3＝603……2，所以2000个数码排到第99＋603＋1＝703（页）的第2个数码“0”。

所以本题的第2000位数是0。

例6排一本400页的书的页码，共需要多少个数码“0”？分析与解：将1～400分为四组：1～100，101～200，201～300，301～400。

在1～100中共出现11次0，其余各组每组都比1～100多出现9次0，即每组出现20次0。

所以共需要数码“0”11＋20×3=71（个）。