111 等腰三角形中的易漏解题于等腰三角形的边分腰和底边；角分顶角和底角；因此在已知等腰三角形的边或角在未指明腰和底边或顶角和底角的情况下，求其余未知量时，均须分两种情况进行讨论。

一、已知等腰三角形的两边，在未指明底边和腰时，求其周长须分两种情况进行讨论；最后务必检验每种情况是否满足三角形的三边关系。

例１、已知等腰三角形的两边长为３和4；求其周长。

解：（１）、当腰长为3，底长为4时；有3+3+4=10；其周长为10； （２）、当腰长为4，底长为3时，有4+4+3=11；其周长为11。

∴该等腰三形的周长为10或11。

例２、已知等腰三角形的两边长为３和７；求其周长。

（2005芜湖市中考12题）解：（１）、当腰长为３，底长为７时，有3+3<7；显然不符合三角形的三边关系，组不成三角形； （２）、当腰长为７，底长为３时，有7+7+3=17；其周长为17。

∴该等腰三角形的周长为17。

二、已知等腰三角形的一内角,在未指明顶角和底角时，求其余两角；须分两种情况进行讨论，最后务必检验是否满足三角形的内角和定理。

例３、已知等腰三角形的一内角为70°；求其余两个内角。

解：（１）、当顶角为70°时；其余两底角为55°，55°； （２）、当底角为70°时，其余两角为70°，40°； ∴该等腰三角形其余两角为55°，55°或70°，40°。

例４已知等腰三角形的一内角为95°；求其两个内角。

解：（１）当顶角为95°时，其余两角为42.5°,42.5°；（２）当底角为95°时，两角之和为95°+95°＞180°；不符合三角形的内角和定理。

显然不成立。

∴该三角形的其余两角为42.5°，42.5°。

三、已知等腰三角形的一个外角（未指明顶角还是底角的情况下），应分两种情况进行讨论。

例５已知等腰三角形的一个外角为75°；求其内角。

解：（１）、当顶角的外角为75°时，等腰三角形的三个内角分别为105°，37.5°，37.5°。

(2)、当底角的外角为75°时，则底角为105°，此时有105°+105°＞180°，不符合三角形的内角和定理；因而组不成三角形。

∴该等腰三角形的三个内角为105°，37.5°，37.5°。

例６、已知等腰三角形的一个外角为110°；求其内角。

解：（１）、当顶角的外角为110°时，三角形的三个内角为70°，55°，55°。

（２）、当底角的外角为110°时，等腰三角形的三个内角分别为70°，70°，40°。

∴该等腰三角形的内角为70°，55°，55°或70°，70°，40°。

四、已知等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角，求其内角时；应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。

例７、已知等腰ΔABC 腰AB 上的高CD 与另一腰AC 的夹角为 30°，则其顶角的度数为（ ）。

A 、60° B 、120°C 、60°或150°D 、60°或120°（2005临沂市中考题） 解：（１）、如图一：当等腰ΔABC 为锐角三角形时，底角为60°，60°，顶角为60°。

（２）、如图二：当等腰ΔABC 为钝角三角形时，顶角为120°，底角为30°，30°。

∴答案选D说明：当等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为0°时；显然为等腰直角三角形，只有一种情况。

例8、为了美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一块边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

（2003黑龙江中考题）分析：此题只给了等腰三角形的一边为10，此边可为底，可为腰，且还须分锐角三角形和钝角三角形加以讨论，否则易漏解。

图一 D C B ADCB A图二222 解：分三种情况，不妨设等腰ΔABC 中，边AB ＝10米，过C 点 作CD ⊥AB ，垂足为D ，ABC1.30,2S AB CD ∆==解得CD ＝6（米）， （1）、如图一，AB 为底时，AD ＝DB ＝5（米），AC ＝CB=（2）、当AB 为腰且三角形为锐角三角形时， AC ＝AB ＝10米，AD8=（米），BD ＝2米，BC=（3）当AB 为腰且三角形为钝角三角形时， AC ＝AB ＝10米，AD8=（米），BC=米。

综上所得：米或10米，10米，五、已知等腰三角形一腰上垂直平分线与另一腰的夹角，求底角时，应分等腰三角形为锐角三角形和钝角三角形两种情况进行讨论。

例9、在ΔABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在直线相交所得的锐角为40°，则底角∠B 的大小。

解：（１）、如图一：当等腰ΔABC 为锐角三角形时，有∠AED ＝40°，则∠A ＝50°，，∠B ＝65°。

（2）、如图二：当等腰ΔABC 为钝角三角形时，此时∠AED ＝40°，则∠BAC ＝130°，，∠B ＝25°。

综上所述：底角∠B 的大小为65°或25°。

六、以已知线段为腰作等腰三角形时，通常要分以该腰不同顶点为顶角顶点两种情况进行讨论。

例10、在平面直角坐标系中，已知点A （2,1），O 为坐标原点，请你在坐标轴上确定点P ，使得ΔAOP 成为等腰三角形。

在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P 1，P 2，…P K 。

（有k 个就标到P K 为止，不必写出画法）（2005杭州市中考题）解：（1）、如图一，以O 为顶角顶点，以OA 为腰时，只须以O 为圆心，以OA 为半径作圆，与坐标轴分别交于P 10）P 2（P 3（），P 4（0,），分别连接P 1A ，P 2A ，P 3A ，P 4A ，可得到四个等腰三角形ΔOAP 1，ΔOAP 2，ΔOAP 3，ΔOAP 4ADBCE图二 A C B DE 图一 C图一D ABA CD图二AB图三D C图一图二图三333 （2）、如图二，以A 为顶角顶点，以OA 为腰时，只须以A 为圆心，以AO 为半径作圆，与坐标轴分别交于P 5（4,0），P 6（0,2），分别连接P 5A ，P 6A ，可得到两个等腰三角形ΔOAP 5，ΔOAP 6，（3）、如图三，当OA 为底时，作OA 的中垂线分别与坐标轴相交于P 7（54,0），P 8（0,52）。

显然符合条件的P 点位置有8个。

例11、在正方形ABCD 中，满足ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 均为等腰三角形的点P 有（ ）个。

A 、6个 B 、7个 C 、8个 D 、9个解：（1）、如图一，当AB ，BC ，CD ，DA 分别为等腰三角形ΔPAB ，ΔPBC ，ΔPCD ，ΔPAD 的底边时，P 点为正方形ABCD 对角线AC ，BD 的交点P 1 。

（2）、如图二，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的 腰且A 与D 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以A 为 圆心，以AB 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点P 2和P 3 。

（3）、如图三，当AB ，CD 分别为ΔPAB 和ΔPCD 的 腰且B 与C 为等腰三角形的顶角顶点而BC 和AD 分 别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的位置为以B 为 圆心，以BA 为半径的圆弧与线段AD 的中垂线交点 P 4和P 5 。

与（2）和（3）同理如图三、四、五得到以当AD ，BC 分别为ΔPAD 和ΔPBC 的腰而AB 和CD 分别为ΔPBC 和ΔPAD 的底边时；P 点的另外四个位置为P 6，P 7 ，P 8 和P 9 。

答案选D 。

七、在等腰三角形中，若三边的长度中含有字母要分三种情况讨论。

例12、在矩形ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝4cm 。

设P ，Q 分别为BD ，BC 上的动点，在点P 自点D 沿DB 方向作匀速运动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速运动，移动速度均为1cm/s,设点P ，Q 移动的时间为t(0<t ≤4)。

（1）、写出ΔPBQ 的面积S （cm 2）与时间t(s)之间的函数表达式，当t 为何值时，S 有最大值？最大值是多少？ （2）、当t 为何值时，ΔPBQ 为等腰三角形？（3）、ΔPBQ 能否成为等边三角形？若能，求t 的值，若不能，说明理由？（2006年临沂市中考第26题）DC图一 P 3 P 2 C B D A 图二 C B D A P 9P 8 图五 C B D A P 7 P 6 图四 P 4 C B D A P 5 图三444 解：（1）、如图一，自点P 向BC 引垂线，垂足为M ，则PM ∥DC ，3,45PM BPDC AB BC DC BDBD ∴====∴===Q 当P ，Q 运动t 秒后，DP ＝BQ ＝1.t ＝t,BP=5-t.()253.15355111533515225102851504,t=S .28PBQ t BP DC tPM BD t S BQ PM t t t ∆-⨯-∴===-⎛⎫∴=⨯⨯=⨯=--+ ⎪⎝⎭<≤∴Q 当时，取得最大值，最大值为(2)、若ΔBPQ 为等腰三角形。

①如图二，当PB ＝PQ 时，自点P 向BC 引垂线，垂足为M ， 则有BM ＝MQ ，在RT ΔBMP 中，BP ＝5-t ，t BM BC 4BM=,cos DCB===2BP BD 5∠ 20-4t t 40=,t=.5213∴解得②当BQ ＝BP 时，有t=5-t,解得5t=2③如图三，当BQ ＝PQ 时，自点Q 向BD 引垂线，垂足为N.由Rt ΔBNQ ∽Rt ΔBCD ，得5-tBN BQ t 252==,t=.BC BD 4513∴解得（3）不能。

若ΔPBQ 为等边三角形，则∠PBQ ＝60°，此时tan ∠而这与由已知在矩形ABCD 中，由AB ＝3，BC ＝4得到的结论tan ∠PBQ=34相矛盾；∴ΔPBQ 不能为等边三角形。

图一CDC图三 C图二555 例1、在ΔABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 边上的高，并且AD 2＝BD.DC ，则∠BCA 的度数为＿＿＿＿，（2005年北京市）析解：这类没有给出图形的问题，解决它一般要用分类讨论的思想，否则极易造成漏解。