五、方程（5）的解
在方程（5）中，令 x cos ，则
d d dx sin d
d dx d
dx
d sin d
d
dx
代入（5）中得
d [(1 x2 ) d ] ( m2 ) 0
dx
dx
1 x2
此即连带勒让德方程
由于 在 0 到 之间变化，则 x 在-1 到 1 之间变化，此限制决定了 ( ) 的解的特性。
12/12
Pl[m ] ( x) ( Pl ) m阶导数
m
(x)
p
m l
(x)
(1
x2)
2
p
[ l
m
]
(
x
)
由归一化条件得：
(x) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
六、方程（4）的解------球谐函数 方程（4）的解，可由方程（5）、（6）的解相乘得到
Y ( ,) ( )()
1 6
Zr a0
Zr
)re 3a0
R32 (r )
4 81 30
(Z a0
Zr
)7 / 2 re 3a0
7/12
十一、波函数图 （1）、径向波函数，概率密度图
8/12
（2）、角向波函数，概率密度图
9/12
10/12
（3）、总图
11/12
十二、轨道能级图 （1）、氢原子轨道能级图
（2）、多电子原子轨道能级图
归一化系数是：
Nlm
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
1 2
归一化的 Y ( , ) 解是缔合勒让德函数：
Ylm ( ,) NlmYlm ( ,) (1)m
(2l 1)(l m)! 2(l m)!
Plm
(cos
)
1 eim 2
Y(,) 也称球谐函数。
3/12
七、方程（3）的解------径向函数
函数，即 () ( 2k ) ，由此则要求 m 为整数或零，于是得
() Aeim ， m 0,1,2
再由归一化条件得
()
1 2
eim
， m 0,1,2
m 的取值，即显示出圆波的的量子化，量子化的原因是由于圆周的限制，也即圆周的的波数必是圆周的
整数分之一。这一点可以类比于两端有固定点的驻波。
量子数： n---主量子数（能级） l---角量子数（角动量） m---磁量子数（磁偏转量） s---自旋子数（自旋）<不在方程内>
九、球谐函数的波值
球谐波函数： Ylm ( , )
部分 l 、 m 的值
Y00 ( ,)
1 4
Y10 ( ,)
3 cos 4
3x 4
Y11( ,)
3 sinei 8
氢原子量子力学方程解
一、氢原子薛定谔方程
氢原子中，电子在核力场中的运动，其与时间无关，只是两粒子间距离 r 的函数，属中心力场，它满足 的薛定谔方程是
2
2
V
(r)
(r
)
E
(r)
2me
-----（0）
中心力场具有球对称，采用球坐标最简单，球坐标的拉普拉斯算符为
2
1 r2
(r2 r
) r
1 r2 sin
代入（1）式得
1
d
(r 2
dR )
2mer 2
[E
V (r)]
1
(sin Y )
1
2Y
R dr dr
2
Y sin
Y sin 2 2 ---（2）
二、径角分离
左边只是 r 的函数，右边只是 、 的函数，两式相等的必要条件是两式都等于一个与 r、、 都无关 的常数，设这个常数为 ，于是可分离为两个方程：
(sin
)
1 r2 sin2
2 2
代入（0）式，整理得
1 (r 2 ) 1
(sin
)
1
2 2me [E V (r)] 0
r 2 r r r 2 sin
r 2 sin 2 2 2
---（1）
由于 V 仅是 r 的函数，可用分离变量法，把方程的解表达为两个函数的积。
(r) R(r)Y ( ,)
1 d (sin d ) ( m2 ) 0
sin d
d
sin 2
------（5）
d 2 m2 0
d 2
------（6）
四、方程（6）的解 由常微分方程可知，方程（6）的通解是
() Aeim Beim
由于 是圆周，物理上 和 2k 是同一角度，要使 ( ) 为单值函数，则此函数必须是 2 的周期
1 d (r 2 dR ) {2me [E V (r)] }R 0
r 2 dr dr 2
r2
------（3）
sin (sin Y ) sin2 1 2Y
Y
Y 2 ------（4）
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三、角圆分离
同样，也可以将 Y ( ,) 分离为 ( ) 和 () 的乘积，令（4）式两边都等于一常数 m2 得
笔记：王东迪 2019 年 3 月 11 日 【学习资料】 1，《近代物理学》，俆克尊、陈向军、陈宏芳 编著 2，《普通化学原理》，iufengbao100 帐号
归一化的径向函数：
Rnl
(r)
N nl e
Zr na0
(
2Zr na0
)l
L2nll11(
2Zr na0
)
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八、方程（1）（2）的解------氢波函数
总波函数，可由方程（3）、（4）的解 Rnl (r) 和 Ylm ( , ) 相乘得到 (r) R(r)Y ( ,)
nlm (r, ,) Rnl (r)Ylm ( ,)
6/12
Y31( , )
21 sin (5 cos2 1) ei 64
Y32( , )
105 sin 2 cos ei2 32
Y33( , )
35 sin3 ei3 64
十、径向函数波值
径向波函数： Rnl (r)
部分 n 、 l 的值
R10
(r
)
2(
Z a0
)3
/
2
e
Zr a0
R20 (r)
1
( Z )3/ 2 (1
Zr
Zr
)e 2a0
2 a0
2a0
R21(r)
1 26
Z ( a0
Zr
)5 / 2 re 2a0
R30 (r)
2 33
Z (
a0
)3/ 2[1
2 3
Zr a0
2 27
Zr ( 2a0
Zr
)2 ]e 3a0
R31(r)
46 81
Z (
a0
)5/ 2(1
ar
得
d 2u
[
1
l(l
1) ]u
0
d 2 4 2
当 时，解出
u() e 2 ， 取 u() e 2 f ()
代回得
d 2 f () df () [ l(l 1) ] f () 0
d 2
d 2
此方程的系数，决定了主量子数：
n n 0,1,2,3 l 0,1,2,3n 1
1)
1
)
df () d
(n
l
1)
f
()
0
此方程的解为广义拉盖尔函数：
nl 1
f () L2nll11()
(1)k
(n l)!
1 k
(n l 1 k)!(2l 1 k)! k!
k 0
将 换用玻尔半径 a0 表示可得如下：
归一化系数是：
Nnl
( 2Z )3 (n l 1)! na0 2n(n l)!
3 sin (x iy) 8
Y20( , )
5 (3cos2 1) 16
5 (2x 2 x2 y2 ) 16
Y21( ,)
15 cos sin ei 8
15 (x iy)z 8
Y22 ( ,)
15 sin 2 ei2 32
15 (x iy)2 32
Y30 ( ,)
7 (5cos3 3cos ) 16
电子在核场中的运动，体系的势能为
V (r) Ze2 4 0r
再令
R(r) u(r) r
代入到（3）式中得
d 2u [ 2me (E Ze2 ) l(l 1) ]u 0
dr 2 2
40r r 2
再用代换
a ( 8me[E])1/ 2
2
பைடு நூலகம்
，
2meZe2 Ze2 ( me )1/ 2 40 2a 40 2[E] ，
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此系数特性，决定了 的量子化
l k m, k 0,1,2,3
l(l 1),l 0,1,2,3
由 m l, 得 m 0,1,2 l
在对 这样的限制下， 连带勒让德方程的解是：
l
2
Pl
(x) (1)k
k 0
(2l 2k)!
xl 2k
2l k!(l k)!(l 2k)!
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再得到氢原子的能量本征值（与玻尔理论完全一致）
a 402 ne2
（玻尔半径）
En
meZ 2e4 (40 )2 22n2
当 0 时，解出
（玻尔能级）
u( ) D1 l 1
综合 0 和 取：
u()
l 1e
2
f
()
代回方程得 广义拉盖尔方程:
d2 f () d 2
[(2l