第四章 习题1．确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： （1）()()()()⎰--++-≈hhh f A f A h f A dx x f 110；（2）()()()()⎰--++-≈hh h f A f A h f A dx x f 221010；（3）()()()()[]3/3211121⎰-++-≈x f x f f dx x f ；（4）()()()[]()()[]h f f ah h f f h dx x f h'0'2/020+++≈⎰解：（1）求积公式中含有三个待定参数，即101A A A ，，-，将()21x x x f ，，=分别代入求积公式，并令其左右相等，得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++---3112111013202h A A h A A h h A A A 解得h A h A A 3431011===-，。
所求公式至少具有2次代数精度。
又由于()()()()4443333333h h h h dx x h h h h dx x h hhh⎰⎰--+-≠+-≈故()()()()⎰--++-≈hhh f A f A h f A dx x f 110具有三次代数精度。
（2）求积公式中含有三个待定系数：101A A A ，，-，故令公式对()21x x x f ，，=准确成立，得()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-=++---31121110131604h A A h A A h h A A A ，解得h h h A h A h A A 34316424381011-=-=-===-，故()()()[]()0343822hf h f h f h dx x f hh -+-≈⎰- 因()⎰-=hhdx x f 220而()()[]03833=+-h h h 又[]445562243831652h h h h h dx x hh +=≠=⎰-所以求积公式只具有三次代数精度。
（3）求积公式中韩两个待定常数21x x 、，当令公式对()1=x f 准确成立时，得到()32131211++==⎰-dx 此等式不含有待定量21x x 、，无用，故需令公式对()2x x x f ，=准确成立，即()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++-==⎰⎰--112221211213213132321310x x dx x x x xdx 得⎩⎨⎧=+=+132132222121x x x x 解上述方程组得⎩⎨⎧=-=68990.012660.012x x 或⎩⎨⎧-==28990.052660.012x x 故有()()()()[]12660.0368990.0213111-++-≈⎰-f f f dx x f 或()()()()[]52660.0328990.0213111f f f dx x f +-+-≈⎰- 将()3x x f =代入上已确定的求积公式中，[]323111332131x x dx x ++-≠⎰- 故求积公式具有2次代数精度。
（4）求积公式中只含有一个待定系数a ，当()x x f ，1=时，有 ()⎰++=401121hdx ()()⎰-++=421102ah h hxdx 故令()2x x f =时，求积公式精确成立，即()()⎰+⨯++=422420202h ah h h dx x 解得121=a故有()()()[]()()[]h f f h h f f h dx x f h'0'12022+++≈⎰将()3x x f =代入上述已确定的求积公式中，有[][]430120244223403h h h h h h dx x h=-++≈=⎰再另()4x x f =代入求积公式时有[][]3244034012024h h h h h dx x h-++≠=⎰故求积公式具有3次代数精度。
2．分别用梯形公式、Simpson 公式、Cotes 公式计算积分dx e x ⎰1，并估计各种方法的误差（要求小数点后至少要保留5位）。
解：运用梯形公式，[]8591409.121101=+≈⎰e e dx e x 其误差()()()⎪⎭⎫⎝⎛=-∈=≤--=⎰1408591.08591409.102265235.012101121103dx e e e f R x 实际误差为，,1ξξ运用Simpson 公式，7188612.1461121010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++≈⎰e e e dx e x其误差为()00094385.02880128801=≤-=e ef R ξ 运用Cotes 公式，718282688.1732123277011432141010=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++≈⎰e e e e e dx e x 其误差为()000001404.049452419451266=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-=ee f R ξ 3．推到下列三种矩形求积公式;()()()()()()()()()()()()()()22224''22'2'a b f b a f a b dx x f a b f b f a b dx x f a b f a f a b dx x f baba ba -+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≈---≈-+-≈⎰⎰⎰ηηη 解：将()a x x f =在出Taylor 展开，得()()()()[]x a a x f a f x f ，∈-+=ξξ,'，两边在[]b a ,上积分，得()()()()()()()()()()()()()()()()[]b a a b f a f a b dxa x f a f ab dxa x f a f ab dxa x f dx a f dx x f bababab aba，，∈-+-=-+-=-+-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰ηηηξξ2'21'''将()b x x f =在处Taylor 展开，得()()()()b x f b f x f -+=ξ'，两边在[]b a ,上积分，得()()()()()()()()()()()()()()()()[]b a b b f a f a b dxb x f a f a b dxb x f b f a b dxb x f dx a f dx x f bababab aba，，∈-+-=-+-=-+-=-+=⎰⎰⎰⎰⎰ηηηηξ2'21'''将()2ba x f +在处Taylor 展开，得 ()()[]b a b a x f b a x b a f b a f x f ，，∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ξξ2''2122'2两边在[]b a ，上积分，得()()()()()()[]b a a b f b a f a b dxb a x f dx b a x b a f b a f a b dx x f b a b a ba，，∈-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎰⎰⎰ηηξ32''24122''2122'2 4．用下列方法计算积分⎰31ydy，并比较结果。
（1）Romberg 方法；（2）三点及五点Gauss 公式；（3）将积分区间分为四等分，用复化两点Gauss 公式。
解：（1）用Romberg 算法()()()[]()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-+=--=--+-=-∑-l m m l k T T T l a b i a f a b T T b f a f ab T m k m k m m k m i l l l l l ，，，；，，，，，，，， 211044212122212111121100001计算，计算结果如表4.1表4.1故⎰≈31098630.11dy y（2）用三点及五点Gauss-Legendre 求积公式，需先对求积区间[1，3]作如下变换，令()()22121+=-++=t t a b b a y 则当[]31，∈y 时，[]11，-∈t ，且dt dy =， ⎰⎰-+=1131211dt t dy y三点Gauss 公式098039283.100.218888889.07745967.021*******.021*******.02111131=+⨯+⎪⎭⎫⎝⎛-++≈+=⎰⎰-dtt dy y 五点Gauss 公式098609289.1215688889.05384693.021*******.021*******.09061798.021*******.021*******.02111131=⨯+⎪⎭⎫⎝⎛++-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛++-⨯≈+=⎰⎰-dtt dy y （3）用复化的两点Gauss 求积公式计算，需将[1，3]四等分，则()()()()()()()()098537573.1]35.05.4135.05.4135.05.4135.05.4135.05.3135.05.3135.05.2135.05.21[215.05.5215.05.4215.05.3215.05.221111112/12/12/12/12/12/12/12/11111111135.25.2225.15.1131=⨯++-⨯++⨯++-⨯++⨯++-⨯++⨯++-⨯+≈+++++++=+++=------------⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰t dt t dt t dt t dt dty dt y dt y dt y dy y dy y I ⎰-=111的真值为098612289.1=I5．用三点公式和五点公式求()()211x x f +=在x =1.0，1.1和1.2处的导数值，并估计误差。
()x f 的值由表4.2给出。
解：三点求导公式为()()()()[]()()()()[]()()()()()[]()22210212201022100'''313421''''621''''34321'ξξξf h x f x f x f h x f f h x f x f h x f f h x f x f x f h x f ++-=-+-=+-+-= 上表中取2.11.11210===x x x ，，，分别将有关数值代入上三式，即可得导数的近似值，由于()()()75.02!41!4max'''max '''552.10.12.10.1==+-=≤≤≤≤≤x x f f x x i ξ 故可得误差及导数值如表4.3。