对于任意一点的应力状态，一定存在相互垂直的三个 主方向、三个主平面和三个主应力。这是应力张量的一个 重要特征。
塑性加工力学
1 应力分析
1.3 主平面、主应力、主方向
塑性加工力学
1 应力分析
应力张量、应力偏张量、应力球张量：
应力张量等于应力偏张量+应力球张量。 应力偏张量：只能使物体产生形状变化，而不能产生体积变化。应力球张 量：不能使物体产生形状变化和塑性变形，而只能产生体积变化。
xx yx zx
ij xy yy zy
xz
yz
zz
xx
材料成型原理
塑性加工力学
1 应力分析
1.1 应力张量
物体所承受的外力可以分成两类： 一类是作用在物体表面上的力，叫做面力或接触力，它可 以是集中力，但更一般的是分布力； 二类是作用在物体每个质点上的力，叫做体力。
内力： 在外力作用下，物体内各质点之间就会产生相互作 用的力。
应力：单位面积上的内力。
m
yx
xy yy m
zx zy
0
m
0
m
0
0
xz
yz
zz
m
0
0
m
塑性加工力学 1.2 直角坐标系中一点的应力状态
1 应力分析
应力分量 设在直角坐标系中有一承受任意力系的物体，物体内有一
任意点Q，围绕Q切取一矩形六面体作为单元体，其棱边分 别平行于三根坐标轴。取六面体中三个相互垂直的表面作为 微分面，如果这三个微分面上的应力都可以通过静力平衡求 得。这就是说，可以用质点在三个相互垂直的微分面上的应 力来完整地描述该质点的应力状态。
1 应力分析
展开行列式得到应力状态特征方程， J1,J2,J3为应力张量不变量：
3J1 2J2J30
主应力求解
解方程即得三个根，即为主应力及
主方向： 1,2,3
解方程组即得主方向l,m,n：
(x )l yxmzxn 0 xyl (y )mzyn 0 xzl yzm(z )n 0
1 0 0
ij
塑性加工力学
1 应力分析
主方向l,m,n应满足方程组：
质点在任意切面 上的应力
(x )l yxmzxn 0 xyl (y )mzyn 0 xzl yzm(z )n 0
对于线性齐次方程组，非零解条件：：
x yx zx xy y zy 0 xz yz z
塑性加工力学
上述三个微分面上的应力都可以按坐标轴的方向分成三 个分量。由于每个微分都与一坐标轴面垂直而与另两坐标轴 平行，故三个应力分量中必有一个是正应力分量，另两个则 是剪应力分量因此一般情况下，一点的应力状态应该用九个
应力分量来描述，如图4-2所示。
塑性加工力学
预备知识:
l cos(N, x) cos mcos(N, y) cos
0
2
0
0 0 3
塑性加工力学
1 应力分析
1.3 主平面、主应力、主方向
主应力求解
三、主平面、主应力主方向 如果点应力状态的应力分量已确定，那么微分面ABC上
的正应力σ及剪应力τ都将随法线N的方向，也即随l、m、n的 数值而变。 主平面：τ =0的微分面叫做主平面，假如N在某一方向时，微 分面上的τ =0，这样的特殊微分面就叫做主平面； 主应力：，主平面面上作用的正应力即为主应力（其数值有时 可能为0）。 应力主方向：主平面上的法线方向则称为应力主方向或应力主 轴。
塑性加工力学
1.1 应力张量
xx yx zx
ij xy yy zy
xz
yz
zz
应力正负判断标准： 正平面，正方向；应力为正； 正平面，负方向；应力为负； 负平面，正方向；应力为负； 负平面，负方向；应力为正；
1 应力分析
yx xy yz zy zx xz
2S22
塑性加工力学
1 应力分析
S 如果S为主应力：
S x S cos( S , x) S y S cos( S , y ) S z S cos( S , z )
质点在任意切面 上的应力
Sx l Sy m
Sz n
代入下式，得： Sx xl yxm zxn
S y xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
l2 m2 1
OAcB o s AcB o N ,x sA B l O B AcB o s AcB o N ,y sA B m
二维坐标系推广到三维坐标系
1 应力分析
y
A
x
N
xy
x
O yx
y
B

塑性加工力学
1 应力分析
1.2 直角坐标系中一点的应力状态
质点在任意切面上的应力。取质点Q（单元体）如图（图4-3），则该
现以单向均匀拉伸为例（如图4-1）进行分析。
塑性加工力学
1.1 应力张量——单向拉伸
SF0 c PosF P 0co s0cos
Scos 0 cos2 Ssin 120 sin2
当 4 时 5取 ， m a0 .x 50
1 应力分析
塑性加工力学
1.1 应力张量
1 应力分析
xx yx zx 在 x 方向 xy y zy 在 y 方向 xz yz z 在 z 方向 在在在 x yz 平平平 面面面
塑性加工力学
1 应力分析
1.2 直角坐标系中一点的应力状态
质点在任意切面 上的应力
静力平衡：
P x Sc d S o ,x F ) s x Q ( y B Q x C z A x Q C 0 A
P x S x d F x ld y F m x d zn xF d 0F
同理：
Sxxlym x zx n
Sx xl yxm zxn Sy xyl ym zyn Sz xzl yzm zn
塑性加工力学
1 应力分析
1.2 直角坐标系中一点的应力状态
质点在任意切面 上的应力
S2Sx2Sy2Sz2
SxlSymSzn
xl2 ym2 zn2
2(xylmyzmnzxnl)
微分面上的应力就是质点在任意切面上的应力，它可通过四面体QABC的静 力平衡求得。
lco N ,s x)(m ,co N ,s y)(n ,co N ,s z) l2m 2n2 1
dF ABC
dF
x
QBC
ldF
dF
y
QAC
mdF
dF z QAB ndF
P SxSd co F S,x s) (SxdF