试 题 二 （考试时间：120分钟）
一、填空（每小题4分，共32分） 1．若矩阵A 相似于矩阵{}2,1,1−diag ，则3
1−A
= 。
2．设33)(×=ij a A 是实正交矩阵且111=a ，T
b )0,0,1(=，则方程组A X =b 的解为 3．设n 阶方阵A 满足2
340A A E −+=，则1
)4(−+E A = 。
4．设A 为4×3阶矩阵，且R (A )=2，又⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛=301020204B ，则R (A B)- R (A )=
5．若二次型
31212
322213212224),,(x x x tx x x x x x x f ++++=是正定的，则
t 满足 。
6．已知三阶方阵A 的特征值为2，3，4，则A 2= 。
7．已知五阶实对称方阵A 的特征值为0，1，2，3，4，则R (A )= 。
8．设⎟⎟⎠
⎞⎜
⎜⎝⎛=1201A 则=k
A 。
（k 为正整数）。
二、（10分）计算行列式：112230000000
00000011
1
1
1
n n a a a a a D a a −−−=
−L L L M M M O M M L L 三、（10分）设线性方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=+−+=+−+=+−+3
23432424321
43214321x x x x x x x x x x x x λ
讨论λ为何值时，方程组无解，有解？在有解的情况下，求出全部解。
四、（10分）已知二次型322
32
22
13214332),,(x x x x x x x x f +++=
（1）把二次型f 写成Ax x x x x f T
=)(321，，的形式； （2）求矩阵A 的特征值和特征向量；
（3）求正交阵Q，使f 通过正交变换X QY =化为标准形。
五、（10分）已知向量组T
)2,0,4,1(1=α，T
)3,1,7,2(2=α，T a ),1,1,0(3−=α，
T
b )4,,10,3(=β，试讨论（1）a,b 取何值时，β不能由331,,ααα线性表出；
（2）a,b 取何值时，β可以由331,,ααα线性表出。
此时写出具体的表达式。
六、（10分）设3阶实对称矩阵A 的秩为2，621==λλ是A 的二重特征值，
()T
0,1,11=α，()T 1,1,22=α，()T 3,2,13−−=α都是A 的属于特征值6的特征向量。
（1）求A 的另一个特征值和对应的特征向量； （2）求矩阵A 。
七、（12分）已知R 3
中两组基T
)
0,0,1(1=εT )0,1,0(2=ε，T )1,0,0(3=ε；及()T 0,0,11=α，
()T 0,1,12=α，T )1,1,1(3=α。
（1） 求由基321,,εεε到基331,,ααα的过渡矩阵A ；
（2） 设由基331,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵为⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=100001111B ，求321,,βββ；
（3） 已知向量ξ在基321,,βββ的坐标为()T
3,2,1，求ξ在基331,,ααα的坐标。
八、设T uu E A −=，E 为n 阶单位阵，u 为n 维非零向量，T u 为u 的转置，
证明: （1）A A =2
的充要条件是1=u u T ；
（2）当1=u u T
时，A 是不可逆的。
试题二参考答案
一、填空
1、 – 1/8 2 、(1,0,0)T
3、 –( A-7E)/31
4、0
5、22<<−t
6、192
7、4
8、⎟
⎟⎠
⎞
⎜
⎜⎝⎛1201k 二 解：提示，第i 列加至第i+1列，i=1,…,n,则D=
1
21000
021+−−n a a L M M M M L L =(-1)n
(n+1)∏=n
i i a 1. 三 解：增广矩阵B=⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡−−→⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣⎡−−−110 404 000010101332 44 121131121λλ (1) 当λ=4时，R(B)=3,R(A)=2,所以无解。
(2) 当4≠λ时，R(B)=R(A)=3<4,方程组有无穷解。
令03=x , 得一特解T
),0,1,(41440−−−=λλη；易得方程组的基础解系 T
)0,1,0,1(=η。
所以方程组的通解为0ηη+=k x 。
四 解：(1)⎟
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝
⎛==321321*********),,(x x x x x x Ax x f T
.
(2) 由03
2
23
00
02
=−−−−−=
−λλλλA E ，得5,2,1321===λλλ。
当11=λ 时，得对应的特征向量T
)110(1−=α； 当22=λ时，得对应的特征向量T )00
1(2=α；
当53=λ时，得对应的特征向量T
)110(3=α；
(3) 将321,,ααα正交化后得正交阵Q=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−2121212100
010，相应的正交变换为X=QY,使得 2
3
222152y y y f ++=。
五 解：令 A=(321,,ααα),X=),,(321x x x T
,B=β,既讨论方程组AX=B 是否有解。
由 ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡−=200001002110302143211010174
3021)(b a a b AB
(1) 当≠b 2时，方程组无解，故β不能由321,,ααα线形表出。
(2) 当b=2时且1≠a 时方程组有唯一解，且β=212αα+−， 当b=2时且1=a 时方程组有无穷解，由⎩⎨⎧+=−−= 221 32
3
1x x x x ，R x ∈3
得β=321)2()21(αααk k k +++−−。
六 解：(1) 由621==λλ是A 的2重特征值，所以A 的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，由题设可得的一个极大无关组是,,21αα故21,αα为A 的属于特征值6的线性无关的特征向量。
由Ｒ(A)=2可得|A|=0.所以03=λ。
设03=λ所对应的特征向量为α=),,(321x x x T
,则0,021==ααααT
T ，即
⎩⎨
⎧=++=+
0 2032121x x x x x 得基础解系α=(-1,1,1)T
,所以属于03=λ的特征向量为c α. (2) 令),,(321ααα=P ，则⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎜⎝
⎛=−06
61
AP P ，所以
⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=−4222422240661P P A 。
七 解： (1) (321,,ααα)=),,(321εεεA=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛10011
0111. (2) ),,(321βββ=(321,,ααα)B=),,(321εεε A B
=),,(321εεε⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛100110111⎟
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜
⎝
⎛−−100001111=)
,,(321εεε⎟⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎜⎝⎛100101010。
所以1β=(0,1,0)T
, 2β=(1,0,0)T
,3β=(0,1,1)T。
(3) ξ= ),,(321βββ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛321= (321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−100001111⎟⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎜⎝⎛321=(321,,ααα)⎟⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎜⎝⎛−312
所以ξ在321,,ααα下的坐标为(-2,1,3)T。
八 证明：当ξ是n 维列向量时，ξ
ξT 是n 阶方阵，ξT ξ是数。
(1) 因为 T T T T T
T
T
T
I I I I A ξξξξξξξξξξξξξξξξ)(22))((2
+−=+−=−−=
=T T
T I ξξξξ
ξξ)(2+−。
从而 由A 2
=A 可写为：T T T
T
I I ξξξξξξξξ−=+−)(2，化简得：
(1−ξξ
T
)T ξξ=0.
因为 ξ是非零向量所以T
ξξ0≠,故A 2
=A 当且仅当ξξT
=1。
(2) 用反证法：ξξ
T
=1时，由(1)知A 2=A。
如果A 可逆，则有A A A A 121−−=，从而有A=I，
这与已知矛盾。
从而A 不可逆。