《线性代数》习题集（含答案）第一章【1】填空题 （1） 二阶行列式2a ab bb=___________。

（2） 二阶行列式cos sin sin cos αααα-=___________。

（3） 二阶行列式2a bi b aa bi+-=___________。

（4） 三阶行列式xy zzx y yzx =___________。

（5） 三阶行列式a bc c a b c a bbc a+++=___________。

答案：1.ab(a-b)；2.1；3.()2a b -；4.3333x y z xyz ++-；5.4abc 。

【2】选择题（1）若行列式12513225x-=0，则x=（）。

A -3；B -2；C 2；D 3。

（2）若行列式1111011x x x=，则x=（）。

A -1， B 0， C 1， D 2，（3）三阶行列式231503201298523-=（）。

A -70；B -63；C 70；D 82。

（4）行列式00000000a ba b b a ba=()。

A 44a b -；B ()222a b-；C 44b a -；D 44a b 。

（5）n 阶行列式0100002000100n n -=（）。

A 0；B n ！；C （-1）·n ！；D ()11!n n +-•。

答案：1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.D 。

【3】证明33()by az bz ax bx ay x y z bx ay by az bz ax a b zx y bz ax bx ay by azyzx++++++=++++ 答案：提示利用行列式性质将左边行列式“拆项”成八个三阶行列式之和，即得结果。

【4】计算下列9级排列的逆序数，从而确定他们的奇偶性： （1）134782695；（2）217986354；（3）987654321。

答案：（1）τ（134782695）=10，此排列为偶排列。

（2）τ（217986354）=18，此排列为偶排列。

（3）τ（987654321）=36，此排列为偶排列。

【5】计算下列的逆序数： （1）135（2n-1）246（2n ）；（2）246（2n ）135（2n-1）。

答案：（1）12n （n-1）；（2）12n （n+1） 【6】确定六阶行列式中，下列各项的符号：（1）152332445166a a a a a a ；（2）215316426534a a a a a a ；（3）615243342516a a a a a a 答案：（1）正号；（2）负号。

【7】根据定义计算下列各行列式：（1）0000100020003000400050000；(2)11142223323341440000000a a a a a a a a ；（3）0001020100000n n -；（4）0001002100000000n n-答案：（1）5！=120；（2）()()114414412233233211223344112332441422334114223341a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --=--+；（3）(1)2(1)!n n n --•；（4）(1)(2)2(1)!n n n ---。

【8】计算下列行列式：（1）1312153404115136----；（2）3111131111311113；（3）1111123414916182764；（4）222233331111a b c d a b c d a b c d 。

答案：（1）-136；（2）48；（3）12；（4）（b-a ）（c-a ）（d-a ）（c-b ）（d-b ）（d-c ） 【9】计算下列n 阶行列式：（1）100011100110000011；（2）111112221233123n；（3）123n -103n-1-20n -1-2-3n ；（4）3222232222322223； （5）1232341112121n n n n n n ---。

答案：（1）1+12(1)n n n +⎧-=⎨⎩为奇数为偶数；（2）1；（3）n ！（4）2n+1；（5）n n-1n-1n+1n 2⋅（）2（-1）。

【10】计算下列行列式：（1）11121212223132312nnn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ------------；（2）0000000000000000a b a ba ab b a（n 阶）；（3）2(1)0000000000000a a h a h a n h a nhaa a a a aa+++-+---；（4）11223000000000000011111n n a a a a a a a ----。

答案：（1）n=2时，行列式等于b b 2121（-)(a -a )；n ≥3，行列式为0； （2）1(1)n n b ++-na ；（3）1(1)(2)2nn a nh a ++；（4）1(1)(1)nni i n a =-+∏【11】计算n+1阶行列式：1201111001001na a a （i a ≠0；i=1，2，n ）答案：1211nni ia a a a =-∑(0;1,2,,)a i n ≠=.【12】解下列线性方程组：（1）12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩；（2）1234512345123451234512345464504650446064404640x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎪++++=⎨⎪++++=⎪⎪++++=⎩。

答案：（1）12341,2,3,1x x x x ====-； (2)123450x x x x x =====.【13】计算n 阶行列式123a x a a a aa x a a D a a a x a aaaa++=+ 于是12111111n n n D ax x x x x a -⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭【14】证明()2cos 100012cos 100012cos 00sin 1sin 0002cos 1012cos n n D θθθθθθθ+==由归纳假设，得()sin 1sin n n D θθ+⎡⎤⎣⎦=【15】计算五阶行列式1234512345123451234512345x a a a a a x a a a D a a x a a a a a x a a a a a x = 可以得到()123123123111231n nnnin i i i i i i nx a a a a x a a a a a x a x a x a a a a x ==⎛⎫=+•- ⎪-⎝⎭∑∏ 【16】证明123121111111111111111111nn n i i na a D a a a a a a =++⎛⎫=+=•+ ⎪⎝⎭+∑ 证明：略【17】.证明'''111213111213212223212223313233313233111213111213'''212223212313233()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()a t a t a t a t a t a t da t a t a t a t a t a t dta t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a t a a t a t a t =++223'''313233()()()()()t a t a t a t a t答案与提示：提示将左边行列式按定义写成和的形式，再由和函数乘积的微分公式即得右边。

【18】.计算n阶行列式：（1）211112122221333211sin sin sin1sin sin sin1sin sin sin1sin sin sinnnnnn n nϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ----；（2）121111222212cos cos cos1 cos cos cos1cos cos cos1 n nn nn nn n nϕϕϕϕϕϕϕϕϕ------。

答案与提示：（1）(1)211(sin sin)2cos sin22n ni j i ji jj i n j i nϕϕϕϕϕϕ-≤≤≤≤+--=∏∏（2）n n-1(1)211(cos cos)2sin sin22n ni j i ji jj i n j i nϕϕϕϕϕϕ-≤≤≤≤+--=∏∏（）2（-1）【19】.利用拉普拉斯定理计算下列行列式：（2）1231112212322223312312212110001000111000x x xa b ca b x x x ca b x x x cx x x；（3）11111111112222221111!111n n n nn n n nn n n nn n n n n na ab a b ba ab a b ba ab a b b------++++++(0,1,2,,1)ia i n≠=+；（4）a baba b b a bab a ba答案与提示：（2）222213232()()()x x x x x x ---；（3）11()j j i j i n b a a bj ≤≤+-∏（4）22()na b - 【20】.证明下列等式：（1）110001000101n n αβαβαβαβαβαβαβαβ++++-=+-+；（2）cos 100002cos 100cos 012cos12cos n ααααα=。

答案与提示：（1）提示：将左边行列式展开可得递推公式，由此递推公式可得结论。

（2）提示：用归纳法证。

【21】3 04 02 2 2 20 -7 0 053 -2 2D =（01403）设行列式，则第四行各元素余子式之和的值为（ ）【22】（96503）五阶行列式1 a a 0 0 0 -1 1-a a 0 00 -1 1-a a 00 0 -1 1-a a 0 0 0 -1 1-ad -== .第二章【1】填空题设A 是三阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，A 的行列式A =12，则行列式1*(3)2A A --=___________。