× NA ×Z
b).表示法 电子球的半径 rs 表示法2---电子球的半径 表示法 将每个电子平均占据的体积等效成球， 将每个电子平均占据的体积等效成球，用 来表示电子密度的大小. 球的半径 rs来表示电子密度的大小
1 V 4 3 = = π rs n N 3
3 ⇒ rs = 4π n
利用索末菲 模型， 利用索末菲( Sommerfeld)模型，可以很好 索末菲 模型 的解决经典理论的困难。 的解决经典理论的困难。为此本章将首先从索 末菲的金属自由电子费米气体模型开始， 末菲的金属自由电子费米气体模型开始，随后 讨论自由电子气体的热性质、泡利顺磁性、准 讨论自由电子气体的热性质、泡利顺磁性、 经典模型和自由电子气体的输运性质等。最后, 经典模型和自由电子气体的输运性质等。最后, 给出该模型的不足之处和解决方案-------这就是 给出该模型的不足之处和解决方案----这就是 本章的内容构成. 本章的内容构成. 这里需要指出的是不管是经典的特鲁德这里需要指出的是不管是经典的特鲁德洛仑兹自由电子论， 洛仑兹自由电子论，还是量子的索末菲的自由 电子论，采用的都是理想气体模型. 电子论，采用的都是理想气体模型.
2) 独立电子近似 (independent electronic approximation) 金属中大量的自由电子之间没有相互作用， 金属中大量的自由电子之间没有相互作用， 忽略了电子和电子之间的库仑排斥作用. 忽略了电子和电子之间的库仑排斥作用 3) 碰撞近似（collision approximation） 碰撞近似（ ） 假定离子实保持原子在自由状态时的构型,电 假定离子实保持原子在自由状态时的构型 电 子和离子实可以发生碰撞,其碰撞是瞬时的 其碰撞是瞬时的,碰撞 子和离子实可以发生碰撞 其碰撞是瞬时的 碰撞 可以突然改变电子的速度,但碰撞后电子的速度 可以突然改变电子的速度 但碰撞后电子的速度 只与温度有关与碰前的速度无关,在相继两次碰 只与温度有关与碰前的速度无关 在相继两次碰 撞之间,电子直线运动 遵循牛顿第二定律. 电子直线运动,遵循牛顿第二定律 撞之间 电子直线运动 遵循牛顿第二定律
a).表示法 单位体积中的平均电子数 表示法1---单位体积中的平均电子数 表示法 单位体积中的平均电子数n 电子密度n 单位体积物质的摩尔数× 电子密度n=单位体积物质的摩尔数×阿伏伽 摩尔数 德罗常数×原子的价电子数 德罗常数×原子的价电子数
n=
ρm
Aபைடு நூலகம்
×NA ×Z
ρm是元素的质量密度； 是元素的质量密度；
1
3
rs 的大小约为 nm 的大小约为0.1
量子力学中常用玻尔半径（ 量子力学中常用玻尔半径（Bohr radius)作 作 为原子半径的量度单位 玻尔半径: 玻尔半径
4πε 0 h −1 a0 = = 0.529 ×10 nm 2 me
2
由铁的电子密度可见,金属晶体是包含 由铁的电子密度可见 金属晶体是包含1023/cm3 金属晶体是包含 个粒子的复杂的多体系统,所以要想采用量子力 个粒子的复杂的多体系统 所以要想采用量子力 学中单电子的薛定谔方程处理该问题， 学中单电子的薛定谔方程处理该问题，必须对 这个复杂体系简化处理， 这个复杂体系简化处理，也就是要建立与之相 适应的模型。 适应的模型。 本章重点： 四、本章重点： 1.自由电子费米气体模型的内容及基态性质； 1.自由电子费米气体模型的内容及基态性质； 自由电子费米气体模型的内容及基态性质
模型
κ 1 π kB = = 2.45 × 10−8 W ΩK −2 σT 3 e
2
上述背景导致了经典金属自由电子气体模型 的建立和发展。1900年 特鲁德(Drude) (Drude)首先 的建立和发展。1900年，特鲁德(Drude)首先 借助理想气体模型， 借助理想气体模型，建立了经典的金属自由电 子气体模型。 子气体模型。 2.特鲁德(Drude)模型 2.特鲁德(Drude)模型 特鲁德(Drude) 1)自由电子近似 自由电子近似(free electronic approximation) 自由电子近似 在金属中,价电子脱离原子的束缚成为自由电 在金属中 价电子脱离原子的束缚成为自由电 可以在金属中自由运动,也就是忽略了电子和 子,可以在金属中自由运动 也就是忽略了电子和 可以在金属中自由运动 离子实之间的库仑吸引作用. 离子实之间的库仑吸引作用
A是元素的相对原子量; 是元素的相对原子量; 是元素的相对原子量 NA=6.022×1023; ×
Z是单个原子提供的传导电子数 是单个原子提供的传导电子数
例如：对于3价铁组成的金属晶体，电子密度为： 例如：对于3价铁组成的金属晶体，电子密度为：
n=
ρm
A 7.8 23 23 = ×6.022×10 ×3 ≈ 2.52×10 55.84
第一章 金属自由电子气体模型
第一节 自由电子费米气体模型及基态性质 第二节 费米分布和自由电子气体的热性质 第三节 自由电子的顺磁磁化率 第四节 金属的电导率和热导率 第五节 霍尔效应和磁电阻效应 金属的光学性质 第六节 金属的光学性质 第七节 自由电子气体模型的局限性
一、金属的自然地位和社会地位 1.化学元素周期表，在通常状态下， 1.化学元素周期表，在通常状态下，金属元素 化学元素周期表 约有七十五种之多； 约有七十五种之多； 2.自然界， 2.自然界，约有三分之二以上的固态纯元素属 自然界 于金属； 于金属； 3.金属具有良好的导电、导热、易加工和特殊的 金属具有良好的导电、导热、 金属光泽等自然属性 自然属性； 金属光泽等自然属性； 人类社会很早就学会了使用金属并被作为 4. 人类社会 很早就学会了使用金属并被作为 人类进步的标志--铜器时代、铁器时代； --铜器时代 人类进步的标志--铜器时代、铁器时代；
(Thomson)发现了电子, 3）1897年汤姆逊(Thomson)发现了电子, 使得 1897年汤姆逊(Thomson)发现了电子 人们可以进一步把组成固体的原子分为离子实 人们可以进一步把组成固体的原子分为 离子实 core)和价电子( electron)； （ion core)和价电子(valence electron)； 原子=离子实+ 原子=离子实+价电子 4）实验发现金属总是具有高电导率、高热导 实验发现金属总是具有高电导率、 率和高反射率; 率和高反射率; 5)1853年 维德曼 夫兰兹定律 夫兰兹定律( 5)1853年,维德曼—夫兰兹定律(Weideman— Franlz) 实验定律发现且需要解释； 实验定律发现且需要解释 定律发现且需要解释；
3. 洛仑兹模型 特鲁德模型+麦克斯韦特鲁德模型+麦克斯韦-玻尔兹曼统计规律 经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论的成就： 经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论的成就： 成就 从微观上定性的解释了金属的高电导率、 从微观上定性的解释了金属的高电导率、高热 导率、霍尔效应以及某些光学性质； 导率、霍尔效应以及某些光学性质； 证明了维德曼—夫兰兹 证明了维德曼 夫兰兹 (Weideman—Franlz)定 定 即金属热导率к除以电导率和绝对温度的积 律,即金属热导率 除以电导率和绝对温度的积 即金属热导率 σT是一个常数 后来人们把这个常数称为洛仑兹 是一个常数,后来人们把这个常数称为洛仑兹 是一个常数 常数。 常数。
4) 弛豫时间近似（relaxation approximation） 弛豫时间近似（ ） 一个电子与离子两次碰撞之间的平均时间间隔 称为弛豫时间,它与电子的速度和位置无关 它与电子的速度和位置无关,由 称为弛豫时间 它与电子的速度和位置无关 由 弛豫时间可以描述电子受到的散射或碰撞,并求 弛豫时间可以描述电子受到的散射或碰撞 并求 得电子的平均自由程. 得电子的平均自由程 特鲁德(Drude)模型实际上使金属中的自由电子 模型实际上使金属中的自由电子 特鲁德 变成了理想气体中的粒子,因而借用已有的热力 变成了理想气体中的粒子 因而借用已有的热力 学规律就可以定性解释金属的一些性质， 学规律就可以定性解释金属的一些性质，但是 定量计算与实验不符。所以， 定量计算与实验不符。所以， 1904年洛仑兹发 年洛仑兹发 展了这个理论. 展了这个理论
2.费米分布和自由电子气体的热性质； 2.费米分布和自由电子气体的热性质； 费米分布和自由电子气体的热性质 初步理解费米面 费密球、态密度等概念 费米面、 等概念； 3. 初步理解费米面、费密球、态密度等概念；
4. 金属电导率的计算。 金属电导率的计算。 本章难点： 五、本章难点： 电子的动力学过程和光学性质
为解决上述困难,在 年费米—狄拉克统计理 为解决上述困难 在1926年费米 狄拉克统计理 年费米 论和量子力学建立以后不久,也就是 也就是1928年,德 论和量子力学建立以后不久 也就是 年德 国物理学家索末菲 索末菲( 扬弃了特鲁德国物理学家索末菲 Sommerfeld)扬弃了特鲁德 扬弃了特鲁德 洛仑兹自由电子论的经典力学与经典统计背景, 洛仑兹自由电子论的经典力学与经典统计背景 认为金属中的价电子相互独立地在恒定势场中 自由运动,其运动行为应由量子力学的 其运动行为应由量子力学的薛定谔方 自由运动 其运动行为应由量子力学的薛定谔方 来描述,大量的价电子构成的电子气系统 大量的价电子构成的电子气系统服从 程来描述 大量的价电子构成的电子气系统服从 费米—狄拉克 狄拉克(Fermi-Dirac)统计理论 从而使得 统计理论,从而使得 费米 狄拉克 统计理论 经典的电子气变成了量子的费米电子气. 经典的电子气变成了量子的费米电子气
经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论的困难： 经典的特鲁德-洛仑兹自由电子论的困难： 困难 根据经典统计的能量均分定理， 个价 （a) 根据经典统计的能量均分定理，N个价 个自由度， 电子的电子气有3N个自由度 电子的电子气有 个自由度，它们对热容的贡 献为3NkB/2,但对大多数金属，实验值仅为这个 献为 ,但对大多数金属， 理论值的1% 理论值的1% 。 (b) 根据这个理论得出的自由电子的顺磁磁 化率和温度成正比，但实验证明， 化率和温度成正比，但实验证明，自由电子的 顺磁磁化率几乎与温度无关。 顺磁磁化率几乎与温度无关。