中国人口增长的预测与控制中国地质大学（武汉）李婕妤徐少可刘力指导教师肖海军湖北省二等奖摘要：人口预测在社会经济实践中占有十分重要的地位。

当前，我国正处于全面建设小康社会的重要时期，而且未来几十年是我国进行社会主义市场经济建设的关键时期, 人口增长的稳定与否必将关系到我国经济建设的成败。

因此认识我国人口数量的变化规律，建立人口模型，做出较准确的预报是有效控制人口增长的前提，从而在理论上对人口的控制提供理论依据，这对于我们这样一个人口大国将有着非常重大的意义。

要解决这个问题，寻找适当的人口增长模型，并确立模型的相关参数是非常关键的。

本文根据《国家人口发展战略研究报告》和《中国人口统计年鉴》中的部分人口调查数据，分析过去几年我国人口发展变化的客观过程和某些规律性，运用单因素灰色系统模型和Logistic人口预测模型分别分析和研究了各种人口变化趋势——人口老龄化、男女性别比、乡村人口城镇化以及全国人口增长情况的预测等，然后我们设计了两个人口预测模型：改进的年龄移算模型和人口预测融合模型，并用它们分别对我国的人口增长进行了预测.在深入分析老龄化进程、出生人口性别比、以及乡村人口城镇化等因素的情况下，对控制中国人口的增长提出了相应的措施，并给出了具体的控制模型.首先，以人口自然增长率为因子建立GM(1,1)的灰色系统预测模型，计算出2001年至2005年人口自然增长率的预测值，与它的实际值进行比较，发现其误差在允许的范围内,我们认为此模型达到预测要求,可以用于中国人口自然增长率的中短期和长期预测.同时应用该模型对出生人口性别比、乡村人口城镇化、老龄化进程等因素分别进行了预测和检验，将人口结构矛盾：老龄化进程加速、出生人口性别比例持续升高以及人口在地区间、产业间分布的不合理性进行了深入的分析和研究.其次，随着时间的推移，由灰色系统模型预测的总人口数有可能趋向无穷，与实际中人口数量应控制在15亿左右不符，故借鉴“人口预测”的思想，通过对人口增长Logistic模型进行对我国人口增长情况进行预测.这种模型在长期人口预测中有较好的应用.再次我们设计了两种人口预测模型：改进的年龄移算算法和以上三种人口预测算法的融合算法.针对既要考虑控制人口数量，又要考虑目前的低生育水平反弹势能大，维持低生育水平的代价高等因素，给出了控制人口增长的措施，同时给出了具体的人口控制模型.最后，对四种模型进行了比较分析，结论如下：关键词：GM(1,1)模型、Logistic模型、改进的年龄移算模型、人口预测融合模型一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。

根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口数做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。

本题要求从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，利用附录中的相关内容及数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。

二、基本假设1、附录中提供的数据正确无误；2、在短期内，人口增长的内在机理是一个灰色问题；3、人口增长率与死亡率、育龄妇女生育率等均有关，但计划生育政策也可以有效地控制人口增长；4、随着社会的发展，今后我国低龄人口的存活率会增大，老龄人口的死亡率会减少；5、在最近的5年内每年以β的速度减少新生儿的出生数；6、今后的6至15年内保持今后第5年的出生水平；7、今后第15年后的出生水平可适当以γ的速度增加新生儿的出生数。

三、符号说明1、00x k （）（）为第k 年人口自然增长率；2、10x k （）（）为0x 的一次累加序列；3、()d k 为1x 的灰导数；4、10z （）为10x （）的均值数列；5、a 为发展系数；6、b 为灰作用量；7、x P 为x 岁的人口数；8、x S 为x 岁人口的存活率；9、x W 为x 岁育龄妇女人数；10、x f 为x 岁妇女之生育率；11、x m 为x 岁之死亡率四、模型建立与求解1、模型Ⅰ——GM(1,1)模型（1） 模型建立以人口自然增长率为因子，建立一个GM(1,1)的灰色系统预测模型[1,2]，通过这个模型可对人口增长做一个初步预测。

设：(0)0x =（(0)0(1)x ，(0)0(2)x ，…，(0)0(5)x ）为2001年至2005年人口自然增长率；(1)0x =（(1)0(1)x ，(1)0(2)x ，…，(1)0(5)x ）为0x 的一次累加序列；0()x k (1)=()01ki x i =∑(0)；则可建立灰色预测GM(1,1)模型：()d k +(1)0az k （）=b ， 其中，()d k 为1x 的灰导数()d k =(1)0()x k -(1)0(1)x k +; 10z （）为10x （）的均值数列，(1)0()z k =(1)(1)00()(-1)2x k x k +；a 为发展系数，b 为灰作用量，10z （）为白化背景，经过简化可得方程：0()x k (0)+ ()(1)0az k =b .(1)将00(2)x （），…，00()x n （）代入方程（1），可得：()()()()()()00000022.x az b x az b x n az n b ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（0）（1）（0）（1）（0）（1）+=，3+3=，+= 在最小二乘意义下可求解此线性方程组得：1()T u B B -=T B Y (2) 其中()a T u b =,1010211z B z n ⎛⎫-⋯ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（）（）（）（）， 00002x Y x n ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（）（）（） （） 由GM(1,1)灰微分方程（1）所对应的白化微分方程： ()00dx ax t b dt +（1）（1）= ⇒10x （）（k +1）=(0x （0）(1) - a b )ak e -+a b （k =1,2,3…）⇒00x （）（k +1）=0x （0）(1) -a b )ak e -(1-a e )（2） 模型的求解我们以调查的历年人口自然增长率为例，验证模型Ⅰ的有效性。

具体数据见表1：令 0x =（5.513，4.808，4.297，4.366，4.572）10x （）=（5.513，10.321，14.618，18.984，23.556）为将所有的级别比()K λ=()()000011x k x -（）（）都落在可容覆盖区间2211n n e e -++⎡⎤⎢⎥⎣⎦，里，须将00x （）作预处理：00x （）=00x （）／()001x （）由最小二乘法代入（2）式可得a =0.0142, b =4.717. 年份 2001 20022003 2004 2005 实际自然增长率（‰）5.513 4.8084.297 4.366 4.579 预测自然增长率（‰）5.513 4.6064.541 4.477 4.414 相对误差（%） 0 4.2015.678 2.542 3.603预测值与实际值比较图如图1所示：图1 2001年—2005人口预测曲线与实际曲线对比图 通过对上图表的分析，我们发现2001年至2005人口自然增长率实际值与预测值的平均误差在3.21%之内，因此效果很好。

再通过同样的方法各对男女性别比、乡村人口城镇化以及老龄化等因素分析后得到预测值与实际值的比较图如图2，3，4所示：图2描述的是1994年—2005年男女性别比预测曲线与实际曲线对比图；图3描述的是2001年—2005城乡人口比例预测曲线与实际曲线对比图；图4描述的是2001年—2005年老龄人比例预测曲线与实际曲线对比图。

2（a ）市 2（b ） 镇2(c) 乡3（a）市图 2(a)表明市男女性别比例维持在110%左右，且略有上升；图 2(b）、图 2(c)表明镇、乡男女性别比例维持在115%左右，并有逐年增加的趋势；3（b）镇3（c）乡图 3(a)表明市人口比例约占我国总人口数的26%-27%，这一比例随时间推移略有增长的趋势；图 3(b)表明镇人口占全国总人口的比例由13%逐年递增到17%；图 3(c)表明乡人口占全国总人口的比例由63%逐年下降到55%；4（a）市4（b）镇4(c) 乡图 4(a)表明市老龄化人口比例维持在12%左右；图 4(b)表明镇老龄化人口比例由9.5%逐年递增到10.8%；图 4(c)表明乡老龄化人口比例由10%逐年递增到12.6%。

虽然从图 1可看出：在现有的计划生育政策下，我国的人口自然增长率得到了有效的控制，但由图 2、3可知，老龄化、男女性别比等问题依然非常突出，且呈逐年递增的趋势，这一问题就是我们下一阶段制定人口控制政策的有力依据。

由图 4可知，随着农村人口不断的向城镇转移，农村人口比例逐渐下降，与此同时，市镇人口都有不同程度的增加，这一现象，我们认为这一阶段是农村剩余劳动力向市镇转移阶段，有利于区间人口分布合理性的调整。

（3）模型检验由于灰色系统的检验方法有多种，常见的有后验差检验，关联度检验，残差检验等。

其中残差检验是一种较为客观的检验方法，在此采用此方法。

先对人口自然增长率进行检验：①计算原始数列的均值()0x=11nix in=∑（）（）=4.71；②计算原始数列00x（）的均方差0S21Sn-，式中20S=21-nix i x=⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑（）（）（）；③计算残差ε（0）的均值0ε（）=0.00714；④求残差的均方差1S211Sn-= 0.1273 ，式中21S=21-niiεε=⎡⎤⎢⎥⎣⎦∑（）（）（）；⑤计算方差比c=1SS=0.1298；⑥检验根据经验，一般精度等级的划分见表3。

c值预测精度等级＜0.35好＜0.5合格＜0.65勉强合格≥0.65不合格用同样的方法对男女性别比、乡村人口城镇化以及老龄化因素进行检验可得预测等级都为“好”。

（4）结果预测由预测模型，很容易得出中短期和长期的预测曲线，见图5、6所示：图5 中短期人口增长率预测图图6 长期人口增长率预测图由图5、6分析可得：中短期及长期人口增长率均表现为逐年下降的趋势，且增长幅度随时间的推移越来越小。

为了求得人口总数的变化情况，我们查阅相关资料[3]。

得到2001年全国总人口为12.95亿，结合已知的人口自然增长率，预测出了未来50年中国人人口总数情况，由图7所示：时间t(年)人口总数（亿）图7 历年人口总数预测图 由图 7可知人口总数随着时间的推移逐渐上升，在2050年时人口总数达到了15.3亿，且上升速率减少的缓慢，其预测结果可能随时间的推移而趋向无穷。