例1.用数学归纳法证明：
()()12121217
51531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n ． 请读者分析下面的证法:
证明：①n ＝1时,左边31311=⨯=，右边3
1121=+=,左边=右边,等式成立. ②假设n =ｋ时，等式成立,即:
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51531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k . 那么当n =ｋ+1时,有:
()()()()32121121217
51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=3211211211217151513131121k k k k 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
k k k ()1
121321+++=++=k k k k 这就是说,当n ＝k +1时，等式亦成立．
由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．
评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设ｎ=k 这一步,当ｎ=k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．
正确方法是：当n ＝ｋ+1时.
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51531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()
3212112++++=k k k k
()()()()()()
321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1
121321+++=++=k k k k 这就说明,当n ＝k +１时,等式亦成立,
例２.是否存在一个等差数列｛a ｎ},使得对任何自然数n ，等式:
a 1+2a ２＋3a ３+…+n ａn =ｎ（n ＋１）(n +2)
都成立，并证明你的结论.
分析：采用由特殊到一般的思维方法,先令ｎ=1,２，3时找出来｛a n },然后再证明一般性. 解：将ｎ=1,２，3分别代入等式得方程组．
⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=603224
26321
211a a a a a a , 解得a 1=6，a 2=9，a ３=1２，则d ＝３．
故存在一个等差数列a n =3n +３，当n ＝1，２,３时,已知等式成立．
下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3,对大于3的自然数，等式
ａ１+２a 2+3ａ3+…＋ｎa n =n (n +１）(n +２)都成立.
因为起始值已证，可证第二步骤.
假设n =ｋ时,等式成立，即
a 1+2a ２＋３a 3+…+ka k =k （ｋ+1）(k ＋2)
那么当ｎ=k +１时，
ａ1+2a 2＋3a 3+…＋ka k ＋(ｋ+１)ａk +1
= ｋ(k +1)（k +２)+ (k +1)[３(ｋ+1)+3]
=(k ＋1)(k ２+2k +3k +6)
=(k +１）(k +２）(k +3）
=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]
这就是说，当ｎ=k +1时,也存在一个等差数列ａn =３n +3使a 1+２a 2+３a 3+…+n ａｎ=n （n +１)(ｎ+2)成立.
综合上述,可知存在一个等差数列ａn =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1＋2a 2+3a 3+…+na ｎ=ｎ（ｎ+1)(n +2)都成立.
例3．证明不等式n n 213121
1<++++ (ｎ∈N ).
证明：①当n =1时，左边=１，右边＝２．
左边<右边，不等式成立．
②假设ｎ=k 时，不等式成立,即k k 2131211<++++
.
那么当n ＝ｋ+1时, 11
1
31
21
1++++++k k
1
1
1211
2+++=++<k k k k k ()()
1211211
1+=++=++++<k k k k k k
这就是说,当ｎ=k ＋1时，不等式成立．
由①、②可知,原不等式对任意自然数n 都成立.
说明：这里要注意，当n =k ＋1时，要证的目标是
121113
1
21
1+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k .
认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去,并进行有关的变形，达到这个目标. 例4．已知数列{a n ｝满足ａ1=0,a 2＝１，当n ∈N 时,a n +2=a ｎ+1+a n .
求证:数列{ａn }的第4ｍ+１项（ｍ∈N )能被3整除．
分析:本题由a n +1＝ａn ＋1＋a n 求出通项公式是比较困难的,因此可考虑用数学归纳法. ①当m =1时,a 4ｍ+１=a 5=a 4+a 3=(a 3+a ２)＋(a ２+a 1）＝a 2+a 1+a 2+a ２+a 1=3，能被３整除． ②当m ＝k 时,a 4k +1能被３整除,那么当ｎ=k +1时，
a 4(k ＋１)+1=a 4k +5＝ａ４ｋ+4+a 4k +3
＝a 4k +3＋ａ4k +２＋ａ4k +2+a ４k +1
=ａ4k ＋２+ａ４k +1+a ４k +2+a ４k +2+a 4k +１
=3ａ４k +2+2ａ4k +1
由假设a4ｋ+1能被3整除,又３a4ｋ+2能被3整除,故3a4k+２+2ａ４ｋ＋１能被3整除.
因此,当ｍ=k+1时，a４(k+1)+1也能被3整除.
由①、②可知，对一切自然数m∈N,数列{aｎ}中的第4m+1项都能被3整除．
例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上,这ｎ个半圆每两个都相交,且都在直线ｌ的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧?
分析:设这些半圆最多互相分成ｆ（n）段圆弧,采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证.
当ｎ＝2时,由图(1)．两个半圆交于一点,则分成4段圆弧,故f (２)=4=22.
当n=３时，由图（２).三个半径交于三点,则分成9段圆弧，故f (３)＝9=32．
由n=4时,由图(3）．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧,故ｆ（4)=１6=４2．
由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f(n)=n2.
用数学归纳法证明如下：
①当n＝２时,上面已证．
②设n=k时,f （ｋ）=ｋ2,那么当n＝k+1时,第k+1个半圆与原ｋ个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+１段,这样又多出了k+1段圆弧．
∴ｆ（k+１)＝k2+k＋(k＋1)
=k2＋２k+1=(k+１)２
∴满足条件的k＋1个半圆被所有的交点最多分成(ｋ+1)２段圆弧.
由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧.
说明：这里要注意;增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2）=4，f (3）＝ｆ（2）+2＋3,f(4)=ｆ(３)＋3+４中发现规律：ｆ(k+１）=f (ｋ)+k+(k+1）.
N的4K＋１次方-N为何是10的倍数?
先证明n^5-n一定是10 的倍数
再用数学归纳法证明n^(4k+1)－n也是１0的倍数
n^5-ｎ＝ｎ(n-１）(n+1)（n＾２+1)
显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是２的倍数
下面分情况讨论
ｎ=5t ５t+1 5t+２5ｔ+3 ５t+４都能得到n＾5－n是５的倍数
而(2,５）互质所以n^5-n是10的倍数
所以当k=1时成立
假设当ｋ=ｒ时成立即n^（4r＋1)-n＝10s
则当k=r+1 时n^（4r+4+１)-n=(ｎ^4r+1-ｎ)＊ｎ^4+(n^5－n)
=ｎ^４*10s+n^５－n
由于n^5-ｎ是10的倍数
所以当k=r+1时也成立
证明：2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数
n=3时,2^3=8>2*３+1,2的ｎ次方大于２n+1成立
设ｎ≤k,k>3时成立
则：ﻫ２＾(k+1)=2＊2^k>２*（2k＋１）=4k+2>2k+8>2（ｋ＋1)+1ﻫn＝k＋１时成立ﻫ所以，ﻫ2的ｎ次方大于2n+１,ｎ是大于2的整数
证明：当且仅当指数n不能被4整除时,1ｎ+2n+3n＋4n能被５整除
证明设Ａ=１^n＋2^ｎ+３^n+4＾n，当n＝4ｋ（k为整数)时，１^n、3＾n的个位数均为1,2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+６=14,A的个位为４，显然A不能被5整除
当n≠4k时，⑴若ｎ=４k+1,易知A的个位=(1＋2＋3+4）的个位＝0，∴Ａ能被５整除
⑵当n=4ｋ＋2时，A的个位=（1+４＋9+1６)的个位＝0，∴Ａ能被5整除
⑶当n=４k+3时，A的个位=(1+8+27+６4）的个位=0,∴A能被5整除
综上所述，
当且仅当指数n不能被4整除时，
Ａ能被５整除,
也即当且仅当指数n不能被4整除时,
1^n+2＾ｎ+３^n＋４＾n能被5整除。