A. n -1B. n +1-1C. n +1-2D. n +2-2高中数学高考总复习数学归纳法习题及详解一、选择题1 1. 已知a = ,数列{a }的前n 项和为S ,已计算得S = 2-1,S = 3-1,S =1, nn +1+ n nn 1 2 3 由此可猜想 S n =()[答案] B1 1 1 12.已知 S k = + + + + + +…+ (k =1,2,3,…),则 S k +1 等于()k 1 k 2 k 3 2k 1A. S k + +2(k 1)1 1 B. S k + + - + 2k 1 k 11 1C. S k ++ - +2k 1 2k 2 1 1 D. S k ++ + + 2k 1 2k 2[答案] C1 11 1 1 1 1 [解析] S k +1= + + + + + +…+ = + + + + +…+ = ++ + (k 1 1 1 1) 1 1 (k 1) 2 1 2(k 1) 1 1k 2 k 3 2k 2 k 1+…+ + + + - + + + =S k + + - + . k 2 2k 2k 1 2k 2 k 1 2k 1 2k 23. 对于不等式 1°当 n =1 时, n 2+n ≤n +1(n ∈N *),某人的证明过程如下:12+1≤1+1,不等式成立.2°假设 n =k (k ∈N *)时不等式成立,即 k 2+k <k +1,则 n =k +1 时, (k +1)2+(k +1)= k 2+3k +2< (k 2+3k +2)+k +2= (k +2)2=(k +1)+1. ∴当 n =k +1 时,不等式成立. 上述证法()A .过程全都正确B .n =1 验得不正确C .归纳假设不正确D .从 n =k 到 n =k +1 的推理不正确 [答案] D[解析] 没用归纳假设.4.将正整数排成下表:12 3 45 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16……则在表中数字2010 出现在( )A.第44 行第75 列B.第45 行第75 列C.第44 行第74 列D.第45 行第74 列[答案] D[解析] 第n 行有2n-1 个数字,前n 行的数字个数为1+3+5+…+(2n-1)=n2.∵442=1936,452=2025,且1936<2010,2025>2010,∴2010 在第45 行.又2025-2010=15,且第45 行有2×45-1=89 个数字,∴2010 在第89-15=74 列,选D.5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:“当f(k)≥k2 成立时,总可推出f(k+1)≥(k+1)2 成立”.那么,下列命题总成立的是( )A.若f(3)≥9 成立,则当k≥1 时,均有f(k)≥k2 成立B.若f(5)≥25 成立,则当k≤5 时,均有f(k)≥k2 成立C.若f(7)<49 成立,则当k≥8 时,均有f(k)>k2 成立D.若f(4)=25 成立,则当k≥4 时,均有f(k)≥k2 成立[答案] D[解析] 对于A,f(3)≥9,加上题设可推出当k≥3 时,均有f(k)≥k2 成立,故A 错误.对于B,要求逆推到比5 小的正整数,与题设不符,故B 错误.对于C,没有奠基部分,即没有f(8)≥82,故C 错误.对于D,f(4)=25≥42,由题设的递推关系,可知结论成立,故选 D.6.一个正方形被分成九个相等的小正方形,将中间的一个正方形挖去,如图(1);再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形,并将中间的一个挖去,得图(2);如此继续下去……则第n 个图共挖去小正方形( )A.(8n-1)个B .(8n +1)个 1C. (8n -1) 个7 1D. (8n +1) 个7 [答案] C[解析] 第 1 个图挖去 1 个,第 2 个图挖去 1+8 个,第 3 个图挖去 1+8+82 个……第 n 8n -1个图挖去 1+8+82+…+8n -1=个. 77.观察下式:1+3=22 1+3+5=32 1+3+5+7=42 1+3+5+7+9=52……据此你可归纳猜想出的一般结论为( )A .1+3+5+…+(2n -1)=n 2(n ∈N *)B .1+3+5+…+(2n +1)=n 2(n ∈N *)C .1+3+5+…+(2n -1)=(n +1)2(n ∈N *)D .1+3+5+…+(2n +1)=(n +1)2(n ∈N *) [答案] D[解析] 观察可见第 n 行左边有 n +1 个奇数,右边是(n +1)2,故选 D.x8.(2010·天津滨海新区五校)若 f (x )=f 1(x )= + ,f n (x )=f n -1[f (x )](n ≥2,n ∈N *),则 f (1)+1 x f (2)+…+f (n )+f 1(1)+f 2(1)+…+f n (1)=()A .n 9B. + n 1 nC. + n 1 D .1 [答案] A1 2 3 n x [解析] 易知 f (1)= ,f (2)= ,f (3)= ,…,f (n )= + ;由 f n (x )=f n -1(f (x ))得,f 2(x )= +2 3 4 n 1 x x 1 1 1 12x 1,f 3(x )= + ,…,f n (x )= + ,从而 f 1(1)= ,f 2(1)= ,f 3(1)= ,…,f n (1)= + ,1 3x 1 nx234 n 1所以 f (n )+f n (1)=1,故 f (1)+f (2)+…+f (n )+f 1(1)+f 2(1)+…+f n (1)=n .( ) ( ) ( ) ( )2 9.(2010·曲阜一中)设 f (x )是定义在 R 上恒不为零的函数,且对任意的实数 x ,y ∈R , 1 都有f (x )·f (y )=f (x +y ),若a 1= ,a n =f (n )(n ∈N *),则数列{a n }的前n 项和S n 的取值范围是()21 A .[ ,2)2 1 B .[ ,2]2 1 C .[ ,1]2 1 D .[ ,1)2[答案] D1(1)(1)[解析] 由已知可得 a 1=f (1)=2,a 2=f (2)=f 2(1)= 2 2,a 3=f (3)=f (2)·f (1)=f 3(1)= 211 1 1 1 1 [1-(\f(1,2))2] 1 3,…,a n =f (n )=f n (1)=2 n ,∴S n= + 2+ 3+…+ n = =1-( )n , 2 2 2 2 1 21- 21∵n ∈N *,∴ ≤S n <1.210.如图,一条螺旋线是用以下方法画成的:△ABC 是边长为 1 的正三角形,曲线 CA 1、A 1A 2,A 2A 3 是分别以 A 、B 、C 为圆心,AC 、BA 1、CA 2 为半径画的圆弧,曲线 CA 1A 2A 3 称为螺旋线旋转一圈.然后又以 A 为圆心,AA 3 为半径画圆弧……这样画到第 n 圈,则所得螺旋线的长度 l n 为()A .(3n 2+n )πB .(3n 2-n +1)π (3n 2+n )π C. 2(3n 2-n +1)π D. 2[答案] A2π[解析] 由条件知CA 1,A 1A 2,A 2A 3,…,An -1A n 对应的中心角都是 3,且半径依次为2π 2π 2π 2π1,2,3,4,…,故弧长依次为 3 , 3 ×2, 3 ×3…,据题意,第一圈长度为 3(1+2+3),第二2π 2π 2π圈长度为 3 (4+5+6),第 n 圈长度为 3 [(3n -2)+(3n -1)+3n ],故 L n = 3(1+2+3+…+3n )2π 3n (1+3n ) = 3 · 2=(3n 2+n )π. 二、填空题2 3 3 8 4 15 6+ 6 35 nn 2-1 2-11.(2010·浙江金华十校模考)已知 =2 , =3 , =4 ,…,若a 6+ t =6 at ,(a ,t 均为正实数),类比以上等式,可推测a ,t 的值,则 a +t = .[答案] 41[解析] 注意分数的分子、分母与整数的变化规律,2→分子 2,分母 3=22-1,3→分子 3,分母 8=32-1,4→分子 4,分母 15=42-1,故猜想 a =6,t =62-1=35,再验证 =6成立,∴a +t =41.[点评] 一般地,ann + = n 1 a =n ,(n ∈N *)成立. 例如,若 15+ t=15 t 成立,则 t +a =239.12.考察下列一组不等式:Error!将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为.[答案] a m +n +b m +n >a m b n +a n b m (a ,b >0,a ≠b ,m ,n >0) 13.(2010· 浙 江 杭 州 质 检 ) 观 察 下 列 等 式 : (x 2+x +1)0=1;(x 2+x +1)1=x 2+x +1; (x 2+x +1)2=x 4+2x 3+3x 2+2x +1; (x 2+x +1)3=x 6+3x 5+6x 4+7x 3+6x 2+3x +1;可以推测(x 2+x +1)4 的展开式中,系数最大的项是 .[答案] 19x 4[解析] 观察其系数变化规律: (x 2+x +1)1 为 1,1,1 (x 2+x +1)2 为 1,2,3,2,1 (x 2+x +1)3 为 1,3,6,7,6,3,1故由此可推测(x 2+x +1)4 系数中最大的为 6+7+6=19,故系数最大项是 19x 4. 14.(2010·南京调研)五位同学围成一圈依次循环报数,规定:第一位同学首次报出的数 为 2,第二位同学首次报出的数为 3,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字,则第 2010 个被报出的数为.[答案] 4[解析] 根据规则,五位同学第一轮报出的数依次为 2,3,6,8,8,第二轮报出的数依次为4,2,8,6,8,第三轮报出的数依次为 8,4,2,8,6,故除第一、第二位同学第一轮报出的数为 2,3 外, 从第三位同学开始报出的数依次按 6,8,8,4,2,8 循环,则第 2010 个被报出的数为 4.2 2+3 3 3+ 8 4+4 15 635 n 3n 2-12x 2x [点评] 数字 2010 比较大,不可能一个一个列出数到第 2010 个数,故隐含了探寻其规律性(周期)的要求,因此可通过列出部分数,观察是否存在某种规律来求解.明确了这一特点解决这类问题就有了明确的解题方向和思路.三、解答题15. 已知点列 A n (x n,0),n ∈N *,其中 x 1=0,x 2=a (a >0),A 3 是线段 A 1A 2 的中点,A 4 是线段 A 2A 3 的中点,…A n 是线段 A n -2A n -1 的中点,…,(1) 写出 x n 与 x n -1、x n -2 之间的关系式(n ≥3);(2) 设 a n =x n +1-x n ,计算 a 1,a 2,a 3,由此推测数列{a n }的通项公式,并加以证明.x n -1+x n -2[解析] (1)当 n ≥3 时,x n = 2 .(2)a 1=x 2-x 1=a ,x 2+x 1 1 1a 2=x 3-x 2= 2 -x 2=- (x 2-x 1)=- a ,2 2 x 3+x 2 1 1a 3=x 4-x 3= 2 -x 3=- (x 3-x 2)= a ,2 4 1由此推测 a n =(- )n -1a (n ∈N *).2 证法 1:因为 a 1=a >0,且x n +x n -1x n -1-x n 1 1 a n =x n +1-x n = 2 -x n = 2 =- (x n -x n -1)=- a n -1(n ≥2),2 2 1所以 a n =(- )n -1a .2证法 2:用数学归纳法证明:1(1)当 n =1 时,a 1=x 2-x 1=a =(- )0a ,公式成立.21(2)假设当 n =k 时,公式成立,即 a k =(- )k -1a 成立.那么当 n =k +1 时,2x k +1+x k 11 1 1 1 a k +1=x k +2-x k +1= -x k +1=- (x k +1-x k )=- a k =- (- )k -1a =(- )(k +1)-2 2 2 2 2 211a ,公式仍成立,根据(1)和(2)可知,对任意 n ∈N *,公式 a n=(- )n -1a 成立. 2 S n a n16. 设数列{a n }的前 n 项和为 S n ,对一切 n ∈N *,点(n , n )都在函数 f (x )=x + 的图象上. (1) 求 a 1,a 2,a 3 的值,猜想 a n 的表达式,并用数学归纳法证明;(2)将数列{a n }依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(a 1),(a 2,a 3),(a 4,a 5,a 6),(a 7,a 8,a 9, a 10);(a 11),(a 12,a 13),(a 14,a 15,a 16),(a 17,a 18,a 19,a 20);(a 21),…,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n },求 b 5+b 100 的值.S n a n[分析] (1)将点(n , n)的坐标代入函数 f (x )=x + 中,通过整理得到 S n 与 a n 的关系,2x 则 a 1,a 2,a 3 可求;(2) 通过观察发现 b 100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和,各组第 4 个括号中各数之和构成首项为 68、公差为 80 的等差数列,利用等差数列求和公式可求 b 100.S n a n[解析] (1)∵点(n , n)在函数 f (x )=x + 的图象上, S n a n 1 ∴ n =n + ,∴S n =n 2+ a n . 2n 2 1令 n =1 得,a 1=1+ a 1,∴a 1=2;21令 n =2 得,a 1+a 2=4+ a 2,∴a 2=4;21令 n =3 得,a 1+a 2+a 3=9+ a 3,∴a 3=6.2 由此猜想:a n =2n . 用数学归纳法证明如下:①当 n =1 时,由上面的求解知,猜想成立. ②假设 n =k (k ≥1)时猜想成立,即 a k =2k 成立,1则当 n =k +1 时,注意到 S n =n 2+ a n (n ∈N *),21 1故 S k +1=(k +1)2+ a k +1,S k =k 2+ a k .2 21 1两式相减得,a k +1=2k +1+ a k +1- a k ,所以 a k +1=4k +2-a k .2 2 由归纳假设得,a k =2k ,故 a k +1=4k +2-a k =4k +2-2k =2(k +1). 这说明 n =k +1 时,猜想也成立. 由①②知,对一切 n ∈N *,a n =2n 成立.(2)因为 a n =2n (n ∈N *),所以数列{a n }依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2),(4,6), (8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,38,40);(42),….每一次循环记 为一组.由于每一个循环含有 4 个括号,故 b 100 是第 25 组中第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数列是等差数列,且公差为 20.同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为 20.故各组第 4 个括号中各数之和构成等差数列,且公差为 80.注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68,所以 b 100=68+24×80=1988, 又 b 5=22,所以 b 5+b 100=2010.[点评] 由已知求出数列的前几项,做出猜想,然后利用数学归纳法证明,是不完全归n -n 3+1 =3 纳法与数学归纳法相结合的一种重要的解决数列通项公式问题的方法.证明的关键是根据已知条件和假设寻找 a k 与 a k +1 或 S k 与 S k +1 间的关系,使命题得证.17.(2010·南京调研)已知:(x +1)n =a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+…+a n (x - 1)n (n ≥2,n ∈N *).(1)当 n =5 时,求 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5 的值. a 2(2)设 b n = - , T n = b 2+ b 3+ b 4+…+ b n .试用数学归纳法证明: 当 n ≥2 时, T n =2n 3n (n +1)(n -1)3.[解析] (1)当 n =5 时,原等式变为(x +1)5=a 0+a 1(x -1)+a 2(x -1)2+a 3(x -1)3+a 4(x -1)4+a 5(x -1)5 令 x =2 得 a 0+a 1+a 2+a 3+a 4+a 5=35=243.(2)因为(x +1)n =[2+(x -1)]n ,所以 a 2=C 2·2n -2 a 2b n = =2C 2=n (n -1)(n ≥2) 2n 3①当 n =2 时.左边=T 2=b 2=2,2(2+1)(2-1) 右边= =2,左边=右边,等式成立.3 ②假设当 n =k (k ≥2,k ∈N *)时,等式成立, k (k +1)(k -1)即 T k = 3成立那么,当 n =k +1 时,k (k +1)(k -1)k (k +1)(k -1) 左边=T k +b k +1= 3 +(k +1)[(k +1)-1]= 3+k (k +1)(k -1 )k (k +1)(k +2)(k +1)[(k +1)+1][(k +1)-1] = =右边.3 故当 n =k +1 时,等式成立.n (n +1)(n -1)综上①②,当 n ≥2 时,T n = 3.=k (k +1)。