振动和波（一）专项训练【例题精选】例1一弹簧振子作简谐振动，周期为T，则：A．若t时刻和()t t+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相同，则∆t一定等于T 的整数倍B．若t时刻和()+∆时刻振子运动位移的大小相等，方向相反，则∆t一定等于T/2t t的整数倍C．若∆∆=+，则时刻和()时刻振子运动的加速度一定相等t T t t tD．若∆∆/()2，则在时刻和时刻弹簧的长度一定相等=+t T t t t分析：弹簧振子作简谐振动图象如图所示，图线上A点与B、E、F、I等点所对应的时刻振子位移大小相等，方向相同，由横轴看可知，A点与E、I等点对应的时刻差为T或T 的整数倍，而A点与B、F等点对应的时刻差不是T或T的整数倍，因此A选项不正确。

A点与C、D、G、H等点所对应时刻振子位移大小相等，方向相反，由横轴看可知，A 点与C、G等点所对应时刻差为T/2或T/2的奇数倍，A点与D、H等点所对应时刻差不是T/2或T/2的奇数倍，选项B不正确。

如果t t t+∆时刻差为一个周期，则这两个时刻振动情况完全相同，加速度一时刻与()定相等，选项C是正确的。

如果t t t T+∆2，这两个时刻振动的位移大小相等，方向相反，振子分时刻与相差()/别位于平衡位置两侧，弹簧的长度显然不相等，选项D是错误的。

答案：C。

例2作简谐振动的弹簧振子振动图象如图所示，下列说法中正确的是A．t=0时，质点位移为零，速度为零，加速度为零B．t=1s时，质点位移最大，速度为零，加速度最大C．t1和t2时刻振子具有相同的动能和动量D．t3和t4时刻振子具有相同的加速度E．5秒内振子通过的路程是25cm，而位移是5cm。

分析：弹簧振子以O为平衡位置在AB间作简谐振动，定向右为正方向，振动图象即题目的图象t=0时刻，振子位于平衡位置O，位移为零，回复力为零，加速度为零，但速度为最大值，动能最大，势能为零，选项A错误。

t=1s时，振子位于正向最大位移处，位移最大，回复力最大，加速度最大，而速度为零，动能为零，势能最大。

选项B正确。

t1和t2时刻振子同位于正向D处（看实物图），弹簧有相同的伸长量，有相同的势能，简谐振动机械能守恒，这两时刻振子有相同的动能，但t1时刻振子在D点，t1时刻是向正方向运动，t2时刻回到D点是向负方向运动（看振动图象）两时刻速度大小相等，但方向相反，所以动量不相同。

选项C错误。

t3和t4时刻由图象和实物图看振子均在反方向E处，弹簧处于压缩状态，位移为负，回复力指向O，是正方向，因此有大小相等，方向相同的加速度。

选项D正确。

由图象看，振动周期T=4s，5秒为114周期，t 时刻振子在平衡位置，经一个周期振子通过的路程即振动轨迹的长度恰为四倍振幅，又振幅A=5cm，所以振子在5秒内通过的路程是5cm×4×114=25cm，而5s末振子恰在正向最大位移处。

位移为x=5cm，选项E正确。

答案：B、D、E。

例3如果下表中给出的是作简谐振动的物体的位移x或速度v与时刻的对应关系，T是振动周期，则下列选项中正确的是：A．若甲表示位移x，则丙表示相应的速度vB．若丁表示位移x，则甲表示相应的速度vC．若丙表示位移x，则甲表示相应的速度v式给出一个周期的四个特殊时刻的四种可能的位移和速度，信息量很大，要对四个选项表示的x和v的对应关系的正、误作出判断，必须概念清楚，善于抓住要点进行比较，才能得出正确结论。

首先审查表中每一栏，发现每一栏单独表示简谐振动的位移x或速度v都是符合振动规律的，因此要判断选项中给出的x和v的对应关系是否正确，只需注意t=0和t=T/4这两个时刻的对应关系即可。

如果甲表示位移，t=0时，x=0，t=T/4时，x=+A，可见t=0时质点应以正向最大速度通过平衡位置，才能经T/4到达正向最大位移。

比较丙、丁两栏可见丙栏正确表示了对应的速度变化情况，可以断定选项A正确，选项D与选项A不相容，断定选项D错误。

如果丁表示位移，即当t=0时，x=－A，t=T/4时，x=0，可见t=0时质点处于负向极端位置，以后向正方向运动，于T/4时从负到正通过平衡位置，速度为正向最大。

比较甲、乙两栏可见，甲正确表示了对应的速度变化规律，所以选项B正确，选项C与B不相容，选项C错误。

答案：A、B。

例4 水平放置的弹簧振子作简谐振动，周期为T ，t 1时刻振子不在平衡位置，且速度不为零；t 2时刻振子速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子的速度与t 1时刻的速度大小相等，方向相反。

若t t t t 2132-=-,则： A ．t t t 123时刻，时刻与时刻，弹性势能都相等 B ．t t 13时刻与时刻弹簧的长度相等 C ．t t n T n 312120123-=+=(),,,，……D ．t t n T n 31120123-=+=(),,,，……分析：据题意，t 1时刻振子不在平衡位置，速度不为零；t 2时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相同；t 3时刻振子与t 1时刻速度大小相等，方向相反，且t 3－t 2=t 2－t 1，如何依据这三个条件，确定t 1时刻振子的位置是解题关键。

把振子振动情况与其振动图象联系起来，如图示，振子小球以O 为平衡位置，在A 、B 之间作简谐振动，以球在正向最大位移处A 点为t =0时刻，则其位移随时间变化规律的振动图象如其右图所示，当经时间t 1运动到C 处，速度向下为v ，此时振子位移为x =+x ,弹簧为伸长状态。

t 2时刻振子在D 处，速度向下，弹簧处于压缩状态，位移为x x t =-13(时刻振子经反向最大位移处又回到处，速度向上，位移D x x =-1)，由于t t t 123、、时刻位移大小相等，据简谐振动，势能转换及机械能守恒。

振子动能相同，速度大小相同，t t 12，时刻速度方向相同，t 3时刻速度方向与t 1时刻相反，符合题意由题意中t t t t 3221-=-,从图象上可知，t t T t t T t 213211414-=-=；，符合所以时刻选择的是恰当的。

t C t t 123时刻振子在处，,时刻振子在D 处，由于距平衡位置O 等距，弹簧伸长和压缩的形变量相同，因此这三个时刻弹性势能相同，振子动能相同。

选项A 是正确的。

但t t 13,时刻弹簧分别处于伸长和压缩状态，弹簧长度显然不同，选项B 是错误的。

考虑到振子每经一个周期又回到原位置，则t t n T t t n T 21321414-=+-=+()()，((),())图象中t t T t t T 2132114114'-=+'-'=+，将以上两式相加有t t n T n T 31214212-=+=+()()，n =0123,,,……故选项C 是正确的，选项D 是错误的。

答案：A 、C 。

例5 一列竖直面内振动的横波，从O 点出发沿水平方向向右传播，振幅为A ，波长为λ。

某一时刻，O 处质元正通过平衡位置向上运动，在其右方水平距离为32λ/的质元P 正位于平衡位置。

经过1/4周期后，质元P A ．与O 的水平距离变为，74λ/位于平衡位置B ．与O A 的水平距离变为，在平衡位置下方距离为处74λ/C ．与O 的水平距离不变，在平衡位置下方距离为A 处D ．与O 的水平距离不变，在平衡位置上方距离为A 处 分析：此横波是在竖直面内上下振动向右传播，故每个传波质元都被前方质元带动，在平衡位置附近作上、下振动，而不随波的传播方向向右移动。

所以质元P 与O 的距离是不会改变的，故选项A 、B 是错误的。

质元P 距O 处质元32λ/，恰与O 处质元是反相振动质元（相距半波长奇数倍的两个质元是反相振动质点），O 处质元通过平衡位置向上运动，P 质元恰通过平衡位置向下运动；经T/4，O 处质元到达正向最大位移处，P 质元恰到负向最大位移处，即在平衡位置下方距离为A 处，故选项C 是正确的。

答案：C 。

例6 实线和虚线分别表示一列简谐横波在传播方向上相距3m 的两点P 和Q 的振动图象，若P 点离波源比Q 近，则该波的波长值可能为： ；若Q 点比P 点离波源近，则该波的波长值可能为： 。

分析：（1）P 点比Q 点离波源近，则振动先传到P ，P 的振动带动Q 振动。

由振动图象看，P 在正向最大位移处，则过34T nT Q +⎛⎝ ⎫⎭⎪时间点才能到达正向最大位移处，又Q距P 为3m ，则v n Tv T n n n =+==+=+=33433412430123()()(,,,)，又·，所以……λλ。

（2）如果Q 点比P 点离波源近，则由振动图象看可知Q 点的振动超前P 点振动(/)(),,,T nT n T n t Q 41401230+=+==，……。

时，点在平衡位置向下振动，P n T 点要再经过()+14才能从平衡位置向下振动。

则有：v n Tv T =+=314(),λ·，所以……λ=+=1241012n n (,,)。

答案：若P 点距波源比Q 点近，则该波波长可能值为1243n Q +()米；若点距波源比P点近，则该波波长可能值为12410123n n +=(),,,米……。

小结：质点的振动每经一个周期又回到原位置；经一个周期波向外传出一个波长，而波的形状不变。

所以P 点超前Q 点的时间可能是3434T n T Q P 或；点超前()+点时间是1414123T n T n 或……。

()(,,)+=例7 一列横波在x t t s 轴上传播，在和1200005==.两个时刻的波形如图所示（t t 12时刻实线示，时刻虚线示）（1）由图所示读出波的振幅和波长（2）设周期大于()t t 21-，如波是向右传播的，波速多大？如波是向左传播的，波速多大？ （3）设周期小于()t t 21-，且波速为6000米/秒，这列波传播方向如何？ 解：（1）由图象可知：波的振幅A=0.2m ，波长λ=8m 。

（2）在t P 1时刻波形上选一参考点,当t t T 21-小于周期时，波传播距离小于一个波长。

若此波向右传，由图可知P 点的振动恰传到M 点，P M s m ==2,则波速v s t t m s =-==2120005400./。

若波向左传，由图可知P 点的振动恰传到N 点，PN=s '=6m ，则波速v s t t ='-21=600051200./=m s 。

（3）周期小于()()t t t t 2121--，则说明时间内传出距离大于一个波长。

波速v m s t t s =-=6000000521/.，则内传出距离为6000000530m s s m /.,⨯=又波长λ=8m ,30米合3个波长零6米（34波长），因为每传出一个波长波形不变，所以只考虑6米（34λ），由图象可知，波是向左传播的。