题目一：
考虑如图所示的倒立摆系统。

图中，倒立摆安装在一个小车上。

这里仅考虑倒立摆在图面内运动的二维问题。

倒立摆系统的参数包括：摆杆的质量（摆杆的质量在摆杆中心）、摆杆的长度、小车的质量、摆杆惯量等。

图倒立摆系统
设计一个控制系统，使得当给定任意初始条件(由干扰引起)时，最大超调量 %≤10%，调节时间ts ≤4s ，使摆返回至垂直位置，并使小车返回至参考位置(x=0)。

要求：1、建立倒立摆系统的数学模型
2、分析系统的性能指标——能控性、能观性、稳定性
3、设计状态反馈阵，使闭环极点能够达到期望的极点，这里所说的期望的极点确定
是把系统设计成具有两个主导极点，两个非主导极点，这样就可以用二阶系统的
分析方法进行参数的确定
4、用MATLAB 进行程序设计，得到设计后系统的脉冲响应、阶跃响应，绘出相应状
态变量的时间响应图。

解：
1 建立一级倒立摆系统的数学模型
1.1 系统的物理模型
如图1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M ，摆杆的质量为m ，摆杆长度为l，在某一瞬间时刻摆角(即摆杆与竖直线的夹角)为θ，作用在小车上的水平控制力为u。

这样，整个倒立摆系统就受到重力,水平控制力和摩擦力的3外力的共同作用。

图1 一级倒立摆物理模型
1.2 建立系统状态空间表达式
为简单起见，本文首先假设:(1)摆杆为刚体 ；(2)忽略摆杆与支点之间的摩擦；( 3) 忽略小车与导轨之间的摩擦。

在如图一所示的坐标下，小车的水平位置是y,摆杆的偏离位置的角度是θ，摆球的水平位置为y+lsin θ。

这样，作为整个倒立摆系统来说，在说平方方向上，根据牛顿第二定律，得到
u l y dt
d m dt d M =++)sin (y 22
22θ （1）
对于摆球来说，在垂直于摆杆方向，由牛顿第二运动定律，得到
θθsin )sin y (m 22
mg l dt
d =+ （2）
方程(1)，(2)是非线性方程，由于控制的目的是保持倒立摆直立，在施加合适的外力条件下，假定θ很小，接近于零是合理的。

则sin θ≈θ，cos θ≈1。

在以上假设条件下，对方程线性化处理后，得倒
u ml M =++..
..y m θ）（ （3）
θ
θmg l m =+..
..m y （4）
对于（3）（4）两个式子联立求解，得到
u M
1
M mg -y ..
+=θ （5）
u Ml
g M 1M m θ..
-+=θ）（ （6）
如果选择位移y 、速度.
y 、角度θ和角速度.
θ为系统的状态变量，位移y 为系统的输出，控制力u 为输入量，并令x 1=y,.
.
12x y x ==,θx 3=,.
.34θx ==x ,则得到 系统的状态表达式为：
u
1010000100000000
1
4321.4.3
.2.1⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎣
⎡+-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡Ml M x x x x g
Ml m M g
M
m
x x x x ）（ （7-a ）
][⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210001y x x x x （7-b ）
2 分析系统的性能指标——能控性、能观测性、稳定性
设系统的参数为M=1kg,m=0.1kg,l=1m,重力加速度g=9.81m/s 2
,于是
1981.0mg ≈=M
1179.10l
m)g
≈=+M M （
11
=M
1l
1
=M 故
u
101001100
1000010000104321.4.3.2.1⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x x x （8-a ）
][⎥⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=43210001y x x x x （8-b ）
故而有：
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0]; 2.1 能控性
在MA TLAB 中，输入
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0];
Qc=[B A*B A*A*B A*A*A*B] 得到 Qc =
0 1 0 1 1 0 1 0 0 -1 0 -11
-1 0 -11 0 再输入 rank(Qc)，得到 ans = 4
于是系统是能控的。

2.2 能观测性
在MA TLAB 中，输入
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0]; B=[0;1;0;-1]; C=[1 0 0 0];
Q0=[C;C*A;C*A*A;C*A*A*A];
得到
Q0 =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 -1 0
0 0 0 -1
再输入rank(Q0)
ans =
4
于是系统是能观测的。

2.3稳定性
计算det[λI-A]=0；
求得的结果是λ1=0；λ2=0；λ3=11；λ4=-11。

因为结果不全是负实部，故而该系统不稳定。

3 状态反馈系统的极点配置以及求状态反馈阵
3.1 状态反馈阵极点配置
因为我们知道，该系统的能控性矩阵满秩，所以该系统是能控的。

可以通过状态反馈来任意配置极点。

希望的极点为s1=-6，s2=-6.5,s3=-7,s4=-7.5。

3.2 求状态反馈阵
在MA TLAB中输入命定
A=[0 1 0 0;0 0 -1 0;0 0 0 1;0 0 11 0];
B=[0;1;0;-1];
P=[-6 -6.5 -7 -7.5];
K=place(A,B,P)
得到计算结果为:
K=
-204.7500 -122.1750 -488.5000 -149.1750
4 MATLAB程序设计
利用MATLAB/Simulink构造单级倒立摆状态反馈控制系统的仿真模型，如图所示
运行仿真程序，得到的仿真曲线如下图所示
从上图可以看出，可以将倒立摆的杆子控制在与竖直方向偏角θ=0°的位置。

题目二：
根据自身的课题情况，任意选择一个被控对象，按照上题所示步骤进行分析和设计，并给出仿真程序及其执行结果。

解：
塑料球漂浮分析
仿真目标：小球在空中受重力mg ，在竖直向上的风中保持漂浮在空中的稳定状态。

1 建模分析
小球在风向（如图所示）下保持稳定的状态。

小球质量为m ，风速为0v ，简化风对球的阻
y 球 风向
力正比于相对速度，比例系数为f ，球下落正向坐标为y ，输入u 为与风速相关的控制力。

数学模型：
my fy u -=
11222x y x x y f u f u x y y x m m m m
=====
+=+
11220
1010
x x u f x x m m ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
()1210x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
由数学模型可知可设：
0101A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，01B ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
,()10C =,()34P =--,()1
2K K K =
2 控制分析
2.1 能控性分析：rank （()B AB ）=2，系统能控
2.2 能观性分析：rank （C CA ⎛⎫
⎪⎝⎭
）=2，系统能观 2.3 稳定性分析：12det()0,0,1I A λλλ-===,不全为复实数，故系统不稳定
3 求状态反馈阵K
在matlab 中输入K=place （A,B,P ）,可求得反馈阵()128K =。

4 MATLAB 仿真
4.1 Matlab 中simulink 建立
4.2 Matlab中simulink仿真结果
由仿真结果可知，小球会逐渐趋于稳定，模型得到验证。