.勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理” . 222，它的变形式为ca=+b勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即222222.=--ab=ba或cc勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理222，则这个三角形是以c为斜边的直角三角形=满足、cac+b.如果三角形的三边长a、b勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是 .2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影S= .A3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是 .23，∠BCD=30°AB，=5，CD，则=AC= .ABC4.如图.在△中，CD⊥AB于D532的线段5. 作长为.，，22222-1，2a(a＞；⑤a+1，a1)；⑥5；③，135.6在下列各组数中①，12，；②724，2534，，，5；④3a4a，a2222(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组mn-mn，2，m+n.7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是 .1 / 12.AC A B13A aABD B D12C题图4题图第7第2题图第3题图第1. ，试判断△AEF=中点，E为BC上一点，且EC的形状BCDC8.如图，在正方形ABCD中，F为4DAFCBE创新.提高.三、综合、B重合，折痕与ABAC=3，折叠该纸片，使点A与点=】（1）在三角形纸片ABC中，∠C90°，∠A=30°，1【例DE的长是多少？D和点E（如图），折痕AC 分别相交于点BDAEC的长E处，求折痕AF落在AD=10，按如图所示折叠，使点DBC上的点=）如图，在矩形（2ABCD 中，AB8，ADFCBE（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值22的值T，求和分别记作STS-.2 / 12.CPABM，求DC=3E，若AD=4，交于沿【练】如图，四边形ABCD是长方形，把△ACDAC折叠到△ACD′，AD′与BC.BE ADCBE'D.的长30AC=，求BC60）如图，△ABC中，∠C=°，AB=70，】【例2（1ABC.ABCD的面积D∠=90°，求四边形∠===AB2，CD1，∠A60°，B=中，）如图，在四边形（2ABCD ADCB13，求ACBC2AB150AABC【练】如图，△中，=°，=，=的长.3 / 12.ABC.CD上一点，BCAD⊥AB，求=AC=20，BC=32，D为）如图，△【例3】（1ABC中，AB ACBD102.AB=中点，、ACAD=5，BE，求°，Rt（2）如图，在△ABC中，∠C=90D、E分别是BC BDACE ，求证：CD=h，AB=c，=于90°，CD⊥ABD，设AC=b，BCa中，∠【例4】如图，△ABCACB=111=+ 1）；（222hba；h＜c+2（）a+b.为边的三角形是直角三角形+hb+，h和c3（）以a CABD222 2.PDA所在平面上一点，求证：为矩形为矩形，）如图，（5【例】1ABCDPABCDP-PB=-PC4 / 12 .DAPCB22.BC=AB +AB2⊥BC于D，若∠B=∠C，求证：AC ·AD2（）锐角△ABC中，ACBD2222).+AB BM +AC =2(AM 的变式：如图，AM是△ABCBC边上的中线，求证：ABCM22.有何关系，并加以证明PC AB 上一动点，试猜想，，AP，PBBCPACABABC3（）如图，△中，=，为线段ABPC变式：若点P在BC的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.5 / 12.ABPC222的大小2与+BPCP，试探求P点位置变化时，sAB（4）在等腰Rt△ABC的斜边所在的直线上取点P并设s =AP.关系，并证明CBAP.（4）中结论是否仍然成立？并证明的延长线上，如图中，变式：若点P在BA CAPB、于E分别交DFAB、AC为顶点作∠BC边上的中点，以DEDF=90°，DE、为）如图，△6【例】（1ABC中，D222.°BAC=+FC90=EF，求证：∠，且FBE AFEBCD（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，E，F分别是BC上两点，若∠EAF=45°，试推断BE，CF，EF之间的关系，并证明.6 / 12.ABCFE.2）中△AEF旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明变式一:将（AFCBE，求S.2，GE=3=°，变式二：如图，△AEF中∠EAF=45AG⊥EF于G，且GF AEF△AFEG.的度数，求∠BPC=PB=1，PC2=ABCBC90ABC（1）在△中，∠ACB=°，AC=，P为△内一点，且PA3，】【例7CPAB222.AB，求证=°，=°，∠=中，∠）如图，在四边形（2ABCDABC30ADC60ADCDBD=+BC7 / 12 .BADC. m，得到线段ADAB=AC，边绕点A逆时针旋转角度【例8】在等腰△ABC中，AB;m的式子表示∠DBC＜80°，连接BD，请用含°，（1）如图1，若∠BAC=3030°＜m ADCBAE=2，使m，°，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，（2）如图2若∠BAC=90°，0°＜＜360BE.的值；若不存在，请说明理由若存在，求出所有符合条件的m ABECD【例9】（1）已知点P在一、三象限的角平分线上，且点P到点A（3，6）的距离为PA=15，求点P的坐标；（2）已知直角坐标平面内的△ABC三个顶点的坐标分别为A（-1，4），B（-4，-2），C（2，-2），试判断△ABC的形状；22+4-x)x+1+(3的最小值；）求代数式（3222222b+4aa+b+4ba为三边长的三角形的面积b0＞a4（）已知，，0＞，求以，.8 / 12.自我归纳：四、课后练习小1在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M的距离是多少？°，问该货轮到达灯塔正东方向D处时，货轮与灯塔MM时后到达B处，测得灯塔在北偏西45北东MDBA. 的面积AC及△ABC=°，BC10cm，求AB，=2.在△ABC中，A30°，B=45. ABCD）如图，把长方形沿对角线折叠，重合部分为△EBD3.（1）求证和：△EBD为等腰三角形；1.，求AE==2，BC82）若AB'CEDACB.AD4=cm，求边上，已知BCAB=8cm，CE，使点）如图，折叠长方形（2ABCD的一边ADD落在DAFBCE4．如图，△ABC是等腰三角形，∠BAC=90°，AB=AC，D.E.是BC上的两点，且∠DAE=45°，若BD=6，EC=8，求DE的长.9 / 12.ABCDE. 边上的点，且DE⊥DFE的中点，、F分别为AB，ACAB5．如图，在等腰三角形中，=AC，D是斜边BC222BE1）求证：EF+CF；=（.DEF的面积，=12CF=5，试求△（2）若BE AEFBCD7.A，求∠，PB=3，PC=CP=ABC90ABC6．如图，等腰Rt△中，∠A=°，P为△内一点，PA1CPBA 2222.+PD内一点，求证：P是矩形ABCDPA+PCPB=，已知点）如图（7．11ADPCB（2）①如果点P移动到矩形的一边或顶点时，如图2，（1）中结论仍成立；10 / 12.PDACB. ）中结论仍成立.请在以上两个结论中任选一个并给出证明（移动到矩形ABCD的外部时，如图3，1②如果点PPDACB归纳结论：22.DEBCAC-·=2ABC中，AD是BC边的中点，AE是BC边上的高，求证：AB8．如图，△ABCDE22+1+（9-+4x）x．求代数式的最小值. 922+2n+1（2，nn>0）的三角形是否为直角三角形？10．试判断，三边长分别为2n2+n，2n+1222222b+ayyb-))+(a-x+x+(.x，，y都为正数，求证：≥ba11．已知，12．如图，Rt△ABC的两直角边AB=4，AC=3，△ABC 内有一点P，PD⊥BC于D，PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，ABACBC++=12，求PD、PE且、PF 的长. PFPDPE11 / 12.AFEPBCD12 / 12。