图形的相似综合复习题一、选择题(每小题6分，共24分)1．(重庆)如图，△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，若BC ＝1，则EF 的长是( B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(泰安)在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列四个命题：①若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠A ＝∠A 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；②若AB ＝A 1B 1，AC ＝A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC≌△A 1B 1C 1；③若∠A＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1；④若AC ：A 1C 1＝CB ：C 1B 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC∽△A 1B 1C 1.其中真命题的个数为( B )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3．(宁波)如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝∠ACD＝90°，AB ＝2，DC ＝3，则△ABC 与△DCA 的面积比为( C )A ．2∶3B ．2∶5C ．4∶9D .2∶ 3 解析：∵AD∥BC，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠B＝∠ACD＝90°，∴△CBA ∽△ACD ，BC AC ＝AC AD＝AB DC ，AB ＝2，DC ＝3，∴BC AC ＝AC AD ＝AB DC ＝23，∴BC AC ＝23，∴cos ∠ACB ＝BC AC ＝23，cos ∠DAC ＝AC DA ＝23，∴BC AC ·AC DA ＝23×23＝49，∴BC DA ＝49，∵△ABC 与△DCA 的面积比＝BC DA，∴△ABC 与△DCA 的面积比＝49，故选：C 4．孝感)在平面直角坐标系中，已知点E(－4，2)，F(－2，－2)，以原点O 为位似中心，相似比为12，把△EFO 缩小，则点E 的对应点E′的坐标是( D ) A ．(－2，1) B ．(－8，4)C ．(－8，4)或(8，－4)D ．(－2，1)或(2，－1)解析：如图二、填空题(每小题6分，共24分)5．(邵阳)如图，在▱ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形：__△ABP∽△AED(答案不唯一)__． ,第5题图) ,第6题图)6．(滨州)如图，平行于BC 的直线DE 把△ABC 分成的两部分面积相等，则AD AB ＝__22__． 7．(2013·安徽)如图，P 为平行四边形ABCD 边AD 上一点，E ，F 分别为PB ，PC 的中点，△PEF ，△PDC ，△PAB 的面积分别为S ，S 1，S 2，若S ＝2，则S 1＋S 2＝__8__．解析：过点P 作PQ∥DC 交BC 于点Q ，由DC∥AB，得到PQ∥AB，∴四边形PQCD 与四边形APQB 都为平行四边形，∴△PDC ≌△CQP ，△ABP ≌△QPB ，∴S △PDC ＝S △CQP ，S △ABP ＝S △QPB ，∵EF 为△PCB 的中位线，∴EF ∥BC ，EF ＝12BC ，∴△PEF ∽△PBC ，且相似比为1∶2，∴S △PEF ∶S △PBC ＝1∶4，S △PEF ＝2，∴S △PBC ＝S △CQP ＋S △QPB ＝S △PDC ＋S △ABP ＝S 1＋S 2＝8,第7题图) ,第8题图)8．(娄底)如图，小明用长为3 m 的竹竿CD 做测量工具，测量学校旗杆AB 的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离DB ＝12 m ，则旗杆AB 的高为__9__m .三、解答题(共52分)9．(10分)(2013·巴中)如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE⊥BC，垂足为点E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB ＝8，AD ＝63，AF ＝43，求AE 的长．(1)证明：∵▱ABCD ，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC.∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE ＝∠B，∴∠AFD ＝∠C.在△ADF 与△DEC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AFD＝∠C，∠ADF ＝∠DEC，∴△ADF ∽△DEC(2)解：∵▱ABCD ，∴CD ＝AB ＝8.由(1)知△ADF∽△DEC，∴AD DE ＝AF CD ，∴DE ＝AD·CD AF＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6 10．(10分)(巴中)如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点坐标分别为A(－2，4)，B(－2，1)，C(－5，2)．(1)请画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1；(2)将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，请画出△A 2B 2C 2；(3)求△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积比，即S △A 1B 1C 1：S △A 2B 2C 2＝____(不写解答过程，直接写出结果)．解：(1)如图所示：△A 1B 1C 1即为所求(2)如图所示：△A 2B 2C 2即为所求(3)∵将△A 1B 1C 1的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以－2，得到对应的点A 2，B 2，C 2，∴△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为1∶2，∴S △A 1B 1C 1∶S △A 2B 2C 2＝1∶411．(10分)(德宏州)如图，是一个照相机成像的示意图．(1)如果像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，拍摄点离景物有多远？(2)如果要完整的拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，则相机的焦距应调整为多少毫米？解：根据物体成像原理知：△LMN∽△LBA，∴MN AB ＝LC LD.(1)∵像高MN 是35 mm ，焦距是50 mm ，拍摄的景物高度AB 是4.9 m ，∴3550＝4.9LD，解得LD ＝7，∴拍摄点距离景物7米 (2)拍摄高度是2 m 的景物，拍摄点离景物有4 m ，像高不变，∴35LC ＝24，解得LC ＝70，∴相机的焦距应调整为70 mm12．(10分)(遵义)如图，▱ABCD 中，BD ⊥AD ，∠A ＝45°，E ，F 分别是AB ，CD 上的点，且BE ＝DF ，连接EF 交BD 于点O.(1)求证：BO ＝DO ；(2)若EF⊥AB，延长EF 交AD 的延长线于点G ，当FG ＝1时，求AD 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DC ＝AB ，DC ∥AB ，∴∠ODF ＝∠OBE，在△ODF 与△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ODF＝∠OBE，∠DOF ＝∠BOE，DF ＝BE ，∴△ODF ≌△OBE(AAS)，∴BO ＝DO(2)解：∵BD⊥AD，∴∠ADB ＝90°，∵∠A ＝45°，∴∠DBA ＝∠A ＝45°，∵EF ⊥AB ，∴∠G ＝∠A＝45°，∴△ODG 是等腰直角三角形，∵AB ∥CD ，EF ⊥AB ，∴DF ⊥OG ，∴OF ＝FG ，△DFG 是等腰直角三角形，∵△ODF ≌△OBE(AAS)，∴OE ＝OF ，∴GF ＝OF ＝OE ，即2FG ＝EF ，∵△DFG 是等腰直角三角形，∴DF ＝FG ＝1，∴DG ＝DF 2＋FG 2＝2，∵AB ∥CD ，∴AD DG ＝EF FG，即AD 2＝21，∴AD ＝2 2 13．(12分)(衢州)(1)提出问题如图①，在等边△ABC 中，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B ，C)，连接AM ，以AM 为边作等边△AMN，连接CN.求证：∠ABC＝∠ACN.(2)类比探究如图②，在等边△ABC 中，点M 是BC 延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中结论∠ABC＝∠ACN 还成立吗？请说明理由．(3)拓展延伸如图③，在等腰△ABC 中，BA ＝BC ，点M 是BC 上的任意一点(不含端点B ，C)，连接AM ，以AM 为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN＝∠ABC.连接CN.试探究∠ABC 与∠ACN 的数量关系，并说明理由．(1)证明：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAN，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN(SAS)，∴∠ABC＝∠ACN(2)解：结论∠ABC＝∠ACN 仍成立．理由如下：∵△ABC，△AMN 是等边三角形，∴AB ＝AC ，AM ＝AN ，∠BAC ＝∠MAN＝60°，∴∠BAM ＝∠CAN，∵在△BAM 和△CAN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAM ＝∠CAN，AM ＝AN ，∴△BAM ≌△CAN(SAS)，∴∠ABC ＝∠ACN (3)解：∠ABC＝∠ACN.理由如下：∵BA＝BC ，MA ＝MN ，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，∴△ABC ∽△AMN ，∴AB AM ＝AC AN，又∵∠BA M ＝∠BAC－∠MAC，∠CAN ＝∠MAN－∠MAC，∴∠BAM ＝∠CAN，∴△BAM ∽△CAN ，∴∠ABC ＝∠ACN1．如图，M 是Rt △ABC 的斜边BC 上异于B ，C 的一定点，过M 点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有( C )A．1条B．2条C．3条D．4条,第1题图) ,第2题图)2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形，顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上．点Q在对角线OB上，且QO＝OC，连接CQ并延长CQ交边AB于点P.则点P的坐标为__(2，4－22)__．。