五、岩石的蠕变1、 蠕变特征① 岩石蠕变的概念在应力σ不变的情况下，岩石变形随时间t 而增长的现象。

即 dtd ε 随时间而变化。

②岩石蠕变类型 有两种类型：稳定型蠕变 非稳定型蠕变a、稳定型蠕变应力作用下，随时间递减，dε零，即0=dt域稳定。

一般在较小应力下或硬岩中。

b、非稳定型蠕变：岩石在恒定应力作用下，岩石变形随时间不断增长，直至破坏。

一般为软弱岩石或应力较大。

③蠕变曲线变化特征三个阶段：Ⅰ阶段：初期蠕变。

d曲，应变速率dt小。

属弹性变形。

Ⅱ阶段：等速蠕变。

应变－时间曲线近似直线，应变随时间呈近于等速增长。

出现塑性。

Ⅲ阶段：加速蠕变。

应变－时间曲线向上弯曲，其应变速率加快直至破坏。

应指出，并非所有的蠕变都能出现等速蠕变阶段，只有蠕变过程中结构的软化和硬化达到动平衡，蠕变速率才能保持不变。

在Ⅰ阶段，如果应力骤降到零，则ε－t曲线具有PQR形式，曲线从P 点骤变到Q点，PQ＝ε为瞬时弹性变形，而后随时间慢慢退到应变为e零，这时无永久变形，材料仍保持弹性。

在Ⅱ阶段，如果把应力骤降到零，则会出现永久变形，其中TU＝ε。

e有直接关系。

变速度变化缓慢，稳定。

率增大。

蠕变速率越大，反之愈小。

岩石长期强度：指 岩石由稳定蠕变转为非稳定蠕变时的应力分界值。

即，岩石在长期荷载作用下经蠕变破坏的最小应力值(∞σ或∞τ) 岩石极限长期强度：指长期荷载作用下岩石的强度。

2、 蠕变经验公式由于岩石蠕变包括瞬时弹性变形、初始蠕变、等速蠕变和加速蠕变，则在荷载长期作用下，岩石蠕变的变形ε可用经验公式表示为：ε＝e ε+)(t ε+t M +)(t T εe ε－瞬时变形；)(t ε－初始蠕变；t M －等速蠕变；)(t T ε－加速蠕变。

对于前两个阶段，目前的经验公式主要有三种： ①幂函数取n t A t ⋅=)(ε第一阶段：n e t A ⋅+=εε；第二阶段：)(11t t M t A n e -+⋅+=εε，t ＞1tA 、n 是试验常数，其值取决于应力水平、材料特性以及温度条件。

②对数函数：t D t B t e ⋅+⋅+=log εεB 、D 是与应力有关的常数。

③指数函数)](exp 1[t f A -=ε，或 )]ex p(1[n t C B A ⋅--=ε A 为试验常数，)(t f 是时间t 的函数伊文思（Evans ）对花岗岩、砂岩和板岩的研究：n t C t f ⋅-=1)(，C 为试验常数，n=;而哈迪(Hardy)给出经验方程，)]exp(1[Ct A --=ε， A 、C 为试验常数。

3、蠕变理论模型(理论公式)（1）基本模型由于岩石材料具有弹性、刚性、粘性和塑性，目前采用简单的机械模型来模拟材料的某种性状。

将这些简单的机械模型进行不同的组合，就可以得到岩石的不同蠕变方程式，以模拟不同的岩石蠕变。

常用的简单模型有两种：一种是弹性模型，另一种是粘性模型。

① 弹性模型这种模型是线弹性的，这种模型可用刚度为G②粘性模型或称粘性单元，这种模型完全服从牛顿粘性定律，其应力与应变速率成正比，可表示为：η－粘滞系数(MPa或2kg⋅)/cms这种模型称为牛顿物质，它可用充满粘性液体的圆筒形容器内的有孔活塞(称为缓冲壶)来表示。

③塑性τ＜yτ时无应变；τ≥yτ时，产生应变(塑性)。

④刚体（2）组合模型由于大多数岩体都表现出瞬时变形(弹性变形)和随时间而增长的变形(粘性变形)，因此，可以说岩石是粘--弹性的。

将弹性模型和粘性模型用各种不同方式组合，就可以得到不同的蠕变模型。

串联：每个单元模型担负同一总荷载，其应变率之和等于总应变率。

并联：每个单元模型担负的荷载之和等于总荷载，而他们的应变率是相等的。

①马克斯韦尔(Maxwell)模型这种模型用弹性模型和粘性模型串联而成。

其特征是：当应力骤然施加并保持为常数时，变形以常速率不断发展。

这个模型用两个G和 描述，由于串联，有：b a τττ== （1-1）且b a γγγ+= （1-2）则 b a b a dtd dt d dt d γγγγγγ+=+== （1-3） 粘性模型 a a γητ =， 弹性模型 b bG γτ= （1-4）所以由（1-3）（1-5）得微分方程：（1-6）对上式微分方程求解可得到应变—时间关系式。

方程的通解是：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎰+=-t tGt Gdt eG C e0γτηη（1-7） 讨论a 、 对于单轴压缩，在t ＝0时，骤然施加轴向应力1σ(const ==τσ1) 方程的解为：（1-8） 初期为瞬间弹性变形，后期为粘性变形。

其中， )21(3μ-=EK 为体积变形模量。

G 刚度系数。

b 、 当const =γ（松弛）：tGeG ηγτ-=0② 伏埃特(Voigt)模型(粘弹性固体)该模型又称凯尔文模型，它是由弹性和粘性模型并联而成。

特点：当骤然应力施加时，应变速率随时间递减，在t 增加到一定值时，应变趋于零。

这个模型用两个常数G 和η描述。

并联：d c τττ+= （2-1）d c γγγ== （2-2） 又 c c γητ = d d G γτ= 代入（2-1）式则（2-3）方程通解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰+==-t tGt G dt e C e1ηητηγ（2-4）对于单轴压缩，t ＝0时施加1σ，并保持不变，则蠕变曲线为：（2-5）在初期，粘性变形为主，后期弹性变形为主，反映了弹性后效现象。

③ 广义马克斯韦尔模型该模型由伏埃特模型与粘性单元串联而成，用三个常数G ，1η，2η述。

增长，－应变分别为：1τ，粘性单元为2τ，2γ因为21τττ== （3-1）由伏埃特模型（2-3）式，并联模型 1111γγητ⋅+⋅=G （3-2） 而粘性模型22γητ = （3-3）21γγγ+=， （3-4）由（3-2） 11111γηητγG-=（3-5） 由（3-3） 222ητγ= (3-6)（3-1）代入（3-5），（3-6），再由（3-4），有：21γγγ += 得2111ητγηητγ+-=G （3-7） 再由21γγγ+= 有 21γγγ +=（3-8） 对（3-5）、（3-6）式求导：121211111111111γητηητγηητηητγηητγG G G G G +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-= （3-9）22ητγ= （3-10） （3-9）（3-10）代入（3-8）得到：21212211ητγητηητγ ++-=G G （3-11） （3-7）×1ηG+（3-11）得到：（3-12） 轴向应力－应变关系式：（3-13）④ 广义伏埃特模型该模型又伏埃特模型与弹性单元串联而成。

用三个常数1G 、2G 、1η特点：初始有瞬时应变i γ，随最终应变速率趋于零。

设：伏埃特模型应力－应变为1τ，1γ弹性单元应力－应变为2τ，2γ 因为串联，应力满足 21τττ==， 由伏埃特并联模型τγγητ=⋅+⋅=11111G ，则11111γητγ G G -=（4-1）又弹性模型 τγτ=⋅=222G ， 则 22G τγ=（4-2）22G τγ=（4-3）对于串联，其变形满足 21γγγ+= (4-4)对时间求导 21γγγ+= （4-5） 代入1γ、2γ 到（4-4） 有：21111G G G τγητγ+-=（4-6）又由（4-5）和（4-3） 221G τγγγγ-=-=将其代入式（4-6）有：τηγηττγηττγ 21111212121121G G G G G G G G G G G +-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+= 最后得：（4-7） 由100G t τγ==，则通解：02112111)(τγη⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+=-t G e G G t （4-8）轴向应力－应变关系式(即在t ＝0时，施加轴向应力1σ保持不变)（4-9）⑤鲍格斯(Burgers)模型斯韦尔模型串联而成（复合粘弹性模型），用四个常数G、2G、1η、2η1来描述。

增长，最后趋于不变速率增长。

设:伏埃特并联模型的应力应变为：1τ，1γ 马克斯韦尔串联模型的应力应变为：2τ，2γ由于两个模型为串联，总应变满足 21γγγ+= (5-1) 应力满足21τττ== （5-2）由伏埃特的并联模型 τγγητ=+=1111G 有 11111γητγ G G -=（5-3）由马克斯韦尔的串联模型 2222222G G τηττητγ+=+= （5-4）由（5-1） 21γγγ-= 再求导 21γγγ -= （5-5）21γγγ -= （5-6） 由（5-3），对时间求导， 11111γητγG G -=（5-7） 由（5-4），对时间求导 222G τητγ+= （5-8） （5-8）代入（5-6）有：（5-9） （5-4）代入（5-5）有： 221G τητγγ--= （5-10）（5-9）、（5-10）代入（5-7）：τητηηγηττητγηττητγ 2112111112211122G G G G G G G G G ++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=--（5-11） 由于21γγγ+=，则利用已求得的伏埃特和马克斯韦尔得轴向应变解，可得鲍格斯的轴向应变关系为：（5-12）4、粘弹性常数η和G 的测定（1）室内测定从鲍格斯模型的公式中知，待求参数为：K 、G 1、G 2、1η、2η。

根据岩石长期单轴压缩试验，可得到)(1t ε曲线。

如果该曲线满足鲍格斯方程：t e G G G K t t G 21)/(11112111333392)(11ησσσσσεη+-++=⋅- 讨论：a) 体积模量假设与时间无关，根据测定的轴向应变1ε和侧向应变3ε来计算。

因为313212εεεεεε+=++=∆=V Vv 132131)(31σσσσσ=++=m所以，)2(3311εεσεσ+==v m K 对于分级荷载取1σ＝△1σb) 当t ＝0时，曲线在纵轴上的截距为瞬时弹性应变，它等于211392G K e σσε+=这部分应变与马克斯韦尔模型e ε可求得2G 。

c) 当t 很大时，)(1t ε曲线近于直线，其直线段的方程为：t G G K t 2121111133392)(ησσσσε+++=' 该直线在纵轴的截距(t ＝0)112113392G G K B σσσε++=可求得113G e B σεε+= 由该式可求得1G 。

该直线的斜率为i =213/ησ，由此可求得2η。

d) 求1η：取： )/(1111113)()(ησεεt G e G t t q ⋅-=-'=，其中 )(1t ε'－直线段(渐近线)；)(1t ε－曲线。

则 t G G q 1113.23lglg ησ-= 在半对数坐标中，q ～t 为直线，其斜率113.2ηG i -='，截距13G e σε'='，从而可求得1η, 同时又可得到1G 。