追及和相遇问题的多种解法【例题1】公路上甲、乙两车在同一车道上同向行驶，甲车在前，乙车在后，速度均为30m/s ，两车相距s 0=100m ，t=0时刻甲车遇紧急情况后，甲、乙两车的加速度随时间变化如下图所示（图甲为甲车，图乙为乙车），取运动方向为正方向，问：两车在0-9s 内会不会相遇？【解法1】公式法从题图知道，2/10-s m a =甲（前3s ），2/5s m a =甲（后6s ）；0=乙a （前3s ），2/5-s m a =乙（后6s ），首先建立坐标系（一维坐标），如图所示则甲的速度为t v 1030-=甲（前3s ），0=甲v （t=3s 时刻），t v 5=甲(后6s)，s m v /30=甲（t=9s 时刻）乙的速度为s m v /30=乙（前3s ），s m v /30=乙（t=3s 时刻），t v 530-=乙(后6s)，0=乙v （t=9s 时刻）则甲的位置坐标为2530100t t x -+=甲（前3a ），m x 145=甲（t=3s 时刻），25.2145t x +=甲（后6s ），m x 235=甲（t=9s 时刻）乙的位置坐标为t x 30=乙（前3s ），m 90=乙x （t=3s 时刻），25.23090t t x -+=乙（后6s ），m x 180=乙（t=9s 时刻） 我们要一段一段地判断，前3s ，m 90=乙x （t=3s 时刻），还没有到达甲的出发点，所以，肯定不能相遇。

后6s ，m x 235=甲，m x 180=乙（t=9s 时刻），乙甲x x >，所以也不能相遇。

这样够不够呢？不够假设在后6s 内，甲、乙相遇，则令乙甲x x =，即25.2145t +=25.23090t t -+，得关于t 的一元二次方程0553052=+-t t ，判别式020********<-=⨯⨯-=∆，所以方程无解，即甲、乙不能相遇。

【解法2】临界法我们先计算在前3s 不能相遇（如上，略），然后分析，在后6s 内，开始乙的速度大于甲，所以乙在追甲，距离越来越近，当二者速度相等时（临界情况），如果能追上甲，就能追上，如果不能追上，就不能追上了，因为（假设二者在两条道上）速度相等之后，甲的速度就大于乙了，二者就会越来越远了。

设甲、乙速度相等，即t 5=t 530-，解得=t 3s ，此时，25.2145t x +=甲=167.5m ，25.23090t t x -+=乙=157.5，因为甲乙x x <，所以，甲、乙不能相遇。

【解法3】图象法 （1）t -v 图象甲的速度为t v 1030-=甲（30≤≤t ），）（甲3-5t v =(93≤<t )，乙的速度为s m v /30=乙（30≤≤t ），t v 530-=乙(93≤<t )，用电子计算机Excel 作出甲（图中Va ）和乙（图中Vb ）的速度图象图如下图。

根据图象“面积”表示位移的方法，从图象可以得到，当s t 6=时刻，两车速度相等，从0=t 到s t 6=，两车位移分别为m x 5.6731521330211=⨯⨯+⨯⨯=甲，则甲车的位置坐标为m x 5.1671005.67=+=甲，乙车的位移和位置坐标都是m x 5.157321530330=⨯++⨯=乙， 因为甲乙x x <，所以甲乙两车不能相遇。

（2）t x -图象甲、乙的位置坐标分别为2530100t t x -+=甲（30≤≤t ），23-5.2145）（甲t x +=（93≤<t ）， t x 30=乙（30≤≤t ），23-5.23-3090）（）（乙t t x -+=（93≤<t ）用电子计算机Excel 作出两车的位置坐标图象如下图。

从图象可以得到，甲车和乙车没有相遇。

同时还可以看出，s t 6=时刻，甲、乙距离最近。

【解法4】相对运动法以上都是以地面为参照物（默认），以下以B 车为参照物。

A 相对B 的初位置为m x 1000=。

A 相对B 的加速度=a 2/10s m -（30≤≤t ）， =a 2/10s m （93≤<t ） 则A 车的速度00=v （0=t 时刻）， s m v /30-=（s t 3=时刻）所以，A 车相当于B 的位置为21021100t x ⨯-=（30≤≤t ），m x 55=（s t 3=），23-10213-3055）（）（t t x ⨯+-=（93≤<t ）。

用电子计算机Excel 作出两车的相对位置坐标图象如下图。

从图象可以得到，甲车和乙车相对位置先靠近s 60-，后远离s 96-，当6s t =时刻，距离最近为10m ，所以，两车没有相遇。

x(甲相对于乙）0102030405060708090100110012345678910x(甲相对于乙）【例题2】在平直公路上有甲乙两辆汽车同时从同一地点沿同一方向做匀加速运动，他们速度的平方随位移变化的图象如图所示，则 A.甲车的加速度比乙车的加速度大B.在5.0=x m 处甲、乙两车的速度相等C. 在5.0=x m 处甲、乙两车相遇D. 在0.1=x m 处甲、乙两车相遇【解法1】公式法根据ax v 22=，甲车x v 42=，得2/2s m a =甲乙车122+=x v ，得2/1s m a =乙，所以乙甲a a >，A 正确。

在5.0=x m 处，22乙甲v v =，所以甲、乙两车的速度相等，B 正确甲车，t v 2=甲，2221t t a x ==甲甲乙车，因为2220/1s m v =乙，所以s m v /10=乙，所以t v +=1乙，25.0t t x +=乙 在5.0=x m 处，乙甲x x =，有的同学认为在此处甲乙相遇，而选C 。

但根据2221t t a x ==甲甲=0.5，得s t 7.05.0≈=甲，根据25.0t t x +=乙=0.5，解得s 4.01-2≈=乙t ，所以甲、乙两车不是同时到达5.0=x m 处，所以在5.0=x m 处甲、乙两车没有相遇，C 错误。

同样的方法，在0.1=x m 处，乙甲x x =，但根据2221t t a x ==甲甲=1.0，得s t 0.1=甲，根据25.0t t x +=乙=1.0，解得s 7.01-3≈=乙t ，所以甲、乙两车不是同时到达x=1.0m 处，所以在0.1=x m 处甲、乙两车没有相遇，D 错误。

【答案】AB【延伸】那么，甲乙两车能不能相遇呢？在哪儿相遇呢？若乙甲x x =，即225.0t t t +=，解得s t 2=，代入得m x 4=，所以，两车在s t 2=时刻m x 4=位置相遇。

用电子计算机Excel 作甲、乙车位移随时间变化的图象，如下图。

从图像也可以得到，当s t 2=时，两车在m x 4=处相遇。

所以，CD 错误。

同时也可以看出，当s t 1=，乙甲v v =，甲乙相距最远（相遇前）。

【解法2】速度图象法用电子计算机Excel 作甲乙的速度图象，如下图。

从图象可以看出，当s t 1<，乙甲v v <，乙在前，甲在后，甲、乙距离越来越远；当s t 1-，乙甲v v =，甲乙相距最远（相遇前）；当s t 1>，乙甲v v >，甲追乙，甲、乙距离越来越近；当s t 2=，乙甲x x =（用“面积”计算位移），甲、乙相遇。

【解法3】相对运动法以甲为参照物，则乙相当于甲，初速度s m v /10=，加速度222/1/2/1s m s m s m a -=-=，所以位移为25.0t t x -=，用电子计算机Excel 作乙相对于甲的位移图象，如下图。

解读：当s t 1<，乙在前，甲在后，乙相对甲距离越来越远；当s t 1-，乙相对甲距离最远（相遇前）；当s t 1>，乙相对甲距离越来越近；当s t 2=，乙相对甲距离为零，即甲、乙相遇，之后，乙相对甲位移为负，即乙在甲后。

【解法4】时间-位移图象法以位移x 为自变量，分别求出同一位移的时间，根据2t x =，所以x t =甲；根据25.0t t x +=，解得1-12+=x t 乙。

用电子计算机Excel 作甲、乙的x t -图象，如图所示。

从图象可以看出，当m x 5.0=的位置，乙甲t t ≠，即甲、乙不是同时到达mx 5.0=的位置，所以C 错误。

当m x 0.1=的位置，乙甲t t ≠，即甲、乙不是同时到达mx 0.1=的位置，所以D 错误。

从图象还可以看出，当m x 4=的位置，s 2==乙甲t t ，即甲、乙同时到达m x 4=的位置，即甲、乙在m x 4=的位置相遇。

【例题3】如图所示，甲、乙两小球位于h=45m 的同一高度，零时刻由静止释放甲球，1s后再由静止释放乙球，释放后两球均做自由落体运动。

（重力加速度g 取10m/s 2），求：（1）释放乙球时，甲球离地高度（2）甲小球落地时，甲、乙两小球之间的竖直距离（3）从甲小球下落开始计时，分析全过程甲、乙两球之间的竖直距离与时间的关系，并用图像准确表示。

（球落地后立即原地静止）（1）释放乙球时，甲下落高度h 1= gt 12/2=5m甲乙t /sΔy /m0 510 15 20 25 30得甲离地高度Δh 1=h —h 1=40m（2）由h = gt 22/2 得甲球落地时间t 2=3s ，此时乙下落高度h 2= g (t 2—1)2/2=20m 所以甲、乙之间的距离Δh 2=h —h 2=25m（3）从甲下落开始计时，甲下落高度⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<=≤≤=)s 43(45)s 30(21y 121t y t gt ， 乙球下落高度⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=≤≤=)s 41()1(21)s 10(0y 222t t g y t ，两者之间的高度差Δy =y 1—y 2 在0~1s 内，y 1= gt 2/2，y 2=0，两球的竖直距离随时间的关系为Δy 1= y 1—y 2=gt 2/2=5t 2在1~3s 内，y 1= gt 2/2，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy 2=y 1—y 2=10t-5在3~4s 内，y 1= 45m ，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的关系为：Δy 3=y 1—y 2=40＋10t —5t 2则图像如图所示【解法2】图象法在0~1s 内，y 1= gt 2/2，y 2=0，两球的竖直距离随时间的关系变化为Δy 1= y 1—y 2在1~3s 内，y 1= gt 2/2，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy 2=y 1—y 2在3~4s 内，y 1= 45m ，y 2=g (t —1)2/2，两小球的竖直距离随时间的变化关系为：Δy 3=y 1—y 2用电子计算机Excel 表格，第一列是时间t ，从0到4，间隔为0.01；第二列是甲下落的距离，公式记为2*2*51a a y =（0-3s ）及451=y （3-4s ）；第三列是乙下落的距离，公式记为)10(02s y -=及)112*)112(*52--=a a y （(1-3s)；第四列是两小球的竖直距离随时间的变化关系，即上述的y ∆，公式记为22a b dy -=。