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§3.2 平面与点的相关位置
平面与点的位置关系，有两种情形，就是点在平面上和点不在平面上. 前者的条件是点的坐标满足平面方程. 点不在平面上时，一般要求点到平面的距离，并用离差反映点在曲面的哪一侧.
1．点到平面的距离
定义3.2.1 自点M 0向平面π 引垂线，垂足为Q . 向量0QM 在平面π的单位法向量n 0
上的射影叫做M 0与平面π之间的离差，记作
δ = 射影n 00QM
(3.2－1)
显然
δ = 射影n 00QM = 0QM ·n 0 =∣0QM ∣cos ∠(0QM ，n 0) =±∣0QM ∣
当0QM 与n 0同向时，离差δ > 0；当0QM 与n 0反向时，离差δ < 0. 当且仅当M 0在平面上时，离差δ = 0.
显然，离差的绝对值就是点M 0到平面π 的距离. 定理3.2.1 点M 0与平面（3.1－13）之间的离差为
δ = n 0r 0－p
(3.2－2)
推论 1 若平面π 的法式方程为 0cos cos cos =-++p z y x γβα，则),,(0000z y x M 与π
间的离差
=δp z y x -++γβαcos cos cos 000
(3.2－3)
推论2 点),,(0000z y x M 与平面Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0间的距离为
()2
2
2
0000,C
B A D
Cz By Ax M d +++++=
π (3.2－4)
2．平面划分空间问题 三元一次不等式的几何意义
设平面π的一般方程为
Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0
则空间中任一点M （x ，y ，z ）与π间的离差为
=δp z y x -++γβαcos cos cos = λ (Ax ＋By ＋Cz ＋D )
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式中λ为平面π的法化因子，由此有
Ax ＋By ＋Cz ＋D =
δλ
1
(3.2－5)
对于平面π同侧的点，δ 的符号相同；对于在平面π的异侧的点，δ 有不同的符号，而λ一经取定，符号就是固定的. 因此，平面π：Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0把空间划分为两部分，对于某一部分的点M (x ，y ，z ) Ax ＋By ＋Cz ＋D > 0；而对于另一部分的点，则有Ax ＋By ＋Cz ＋D < 0，在平面π上的点有Ax ＋By ＋Cz ＋D = 0.
P112习题 1，2，5，8。