T U Qi qi qi qi
.. .
M q C q Kq Q
3.2 无阻尼自由振动
3.2.1 多自由度系统的固有频率
Mx Kx 0 x t sin t
M2 sin t K sin t 0

2U kij qi q j
0

kij k ji
则有
1 n n 1 T U kij qi q j q Kq 2 i 1 j 1 2
U 是关于广义坐标 的二次型， U 0 ，等于零对应 无有势力作用下的运动，关于广义坐标的正半定二
q
次型。所以，矩阵 K 是对称半正定的。
3.2.2 系统的主振型 从代数上是一个广义特征值问题，可化为标
1 2 1 M K I 0， 准特征值问题 其中 M K 一般不对 称除非 M 是对角阵。求出 i 后回代方程
( K Mi2 )i 0
, ,..., ni ，则 得到 n 个 特征向量， i 1i 2i x(i ) t i sin it i
M j 0 ， K j 0
T i
T i
i j
证明：
K M 由
2 i i
0
，得
j
2 K M Ki M j j i ， i
2
T T 分别前乘 j ， i 得
2 T T K j i i j Mi
（ 1） （2）
M j 0
T i
代入（3）式有
iT K j 0
当i j 时 令其为
（4）式恒成立，通常
iT Mi 0
Mi iT Mi ，
称为第 i 阶模态质量，同理
Ki iT Ki ，
称为第 i 阶模态刚度，且有（由（3）式） ：
iT Ki i2iT Mi
Ki i2 i Mi Ki Mi
由于 i 各元素取值有一个任意的比例数， M i 和 Ki 有一定任意性，但比值是固定的。为方便起见，希 望 i 的任意数的选取方法使得 M i 1 ，则
Ki i2
即在原振型向量的基础上（经计算 M i 1） ，各个元 素同乘
1 Mi
对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
Rk k rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 rk dqi n rk dq j 1 k rk rk k dt j 1 q j dt k 1 2 k 1 2 i 1 qi
0
静平衡位置为势能零点。 U0 0
U qi
广义坐标的零点取在静平衡位置上，势能函数是关于 0 广义坐标的二阶以上函数，代入零广义坐标一定为零。 0 由于是微振动，第四项为高阶微量，省略．
1 n n 2U U 0 qi q j 2 i 1 j 1 qi q j ， 令
2 K M 0
K M2 0
2 ，关于 的 n 次代数方程
i）由 M 正定，K 正半定，由矩阵理论可知，特征 根均为正数或零， 即有实数的 i ， 称为固有频率。 ii) i 有不等实根（多数情况下，多数的实际工程 系统） 。
1 2 ... n
但可能 1 0 ，对应系统有刚性运动（在振动同 时伴随有刚体运动） iii） 有重根，称为亏损系统
Y ( F M Y ) M Y 1Y F
M Y kY F
..
..
..
通常当质点较多， 约束比较复杂时， 适 合用能量分析方法，例如 Lagrange 第 2 类方程。m 个质点，r 个约束，n 个广义坐标 qi (i 1, 2,..., n) 。
n 3m r
结 构 动 力 学
第三章 多自由度系统振动
主讲教师：于开平
2011年春季学期
哈尔滨工业大学航天学院
3.1 多自由度系统的数学模型 3.1.1 多自由度系统的基本概念 用多于一个的有限独立坐标描述的振动系统， 称为多自由度系统。 实际工程结构经过适当的离散或简化， 可以简 化成由有限个无弹性的质量（惯性元件） ，质点到 刚体，有限个无质量的弹簧（弹性元件）和阻尼器 （阻尼元件）组成。由无惯性的弹性元件和阻尼元 件连接的质点系或质点刚体系，也称集中参数系 统，反之称分布参数系统。
m1 M 0 0 k1 k2 c k2 0
0 m2 0
0 0 m3
c1 c2 c c2 0
c2 c2 c3 c3
0 c3 c3 c4
k2 k 2 k3 k3
0 k3 k3 k 4
T iT K j 2 j i M j
对第（1）式转置有
iT K T j i2iT M T j
iT K j i2iT M j
（2）～（3）得
2 2 T j i i M j 0
（3）
（4）
由于 i j ，无重根所以 i j ，故有
rk rk 1 m mk qi q j qi q j i 1 j 1 2 k 1 n n 1 1 mij qi q j qT Mq 2 i 1 j 1 2
n n
在完整约束系统中，势能只是定义坐标的函数
U U q1, q2 ,..., qn
对于 m 个质点的质点系， 共约束是 r 个， 那么广义 坐标系 n＝3m－r 个，也就是有 n 个自由度数。
刚体在空间运动有六个 DOF
有限单元法将连续体离散成若干有限单元构成
3.1.2 多自由度系统振动微分方程（动力学方程，运 动控制方程）的建立。 可用牛顿力学与分析力学的任何一种方法均 可， 常用的牛顿第二定律、 达朗贝尔原理， Lagrange 第二类方程。 例 1：
' ，新的归一化后的振型为 i i
Mi
则归一化后的 M i 的计算为
Mi 1 T M i M i 1 Mi Mi
'T i ' i
每一个振型都这样处理以后，构成的模态矩阵 称为归一化模态矩阵。即有
1T M 1 1T M 2 ... 1T M n 1T T T T T 2 M 1 2 M 2 ... 2 M n T M M 1 , 2 ,.. n 2 T T T T n n M 1 n M 2 ... n M n M1 diag M2 I ... Mn
T
i
称为第 i 阶主振动
x
(i )
t x
(i ) 1
, x ,..., x
(i ) 2
(i ) T n

这里的 i 称为第 i 阶主振型，也称第 i 阶模态 （modal） 。由于没有重根所以， i 回代后仅有一 个方程不独立
k11 m11i2 1i k12 m12i2 2i ... k1n m1ni2 ni 0 . . . kn1 mn1i2 1i kn 2 mn 2i2 2i ... knn mnni2 ni 0
m
cij c ji 是对称的， 0
rk rk 1 n n m k qi q j 2 i 1 j 1 qi q j k 1 1 n n 1 T cij qi q j q Cq 2 i 1 j 1 2
n 个方程中仅有一个不独立，在 1i ,..., ni 中有一个 可任意选取，而其它都与之成一定比例。不失一般 性去掉第一个方程， 将其它方程中有 1i 项移到方程 右边有
k
2 2 2 m ... k m m 22 22 i 2i 2n 2n i ni 21 i k 21 1i
7 l 13 31 12 EI
作用单位力后在 mi 上产生的位移，用 ij 表示。
.. .. .. y1 F1 m1 y1 11 F2 m2 y 2 12 F3 m3 y3 13
.. .. .. y2 F1 m1 y1 21 F2 m2 y 2 22 F3 m3 y3 23
所以C是正半定的
代入拉格拉日方程， L T U ，
d L L Qi dt qi qi
通常情况下，势能与广义速度无关
d T T U Qi dt qi qi qi
对于有耗散力的方程为
d T dt qi
.. .. .. y3 F1 m1 y1 31 F2 m2 y 2 32 F3 m3 y3 33
.. .. F1 m1 y1 y1 y 1 .. .. y2 F2 m2 y 2 ( F M y 2 ) y .. .. 3 F3 m3 y 3 y3
rk rk q1, q2 ,..., qn
（质点 k 的矢径）
稳定约束。所以有
n n drk rk dqi r Vk k qi dt dt i 1 qi i 1 qi
系统动能等于各质点动能之和
显然 mij m ji 是对称的。 则T是关于广义速度的二次型， 由于T>0，是正定二次型，则M正定对称的。
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有