《算法分析与设计》作业参考答案
作业一
一、名词解释：
1.递归算法：直接或间接地调用自身的算法称为递归算法。
2.程序：程序是算法用某种程序设计语言的具体实现。
二、简答题：
1.算法需要满足哪些性质？简述之。
答：算法是若干指令的有穷序列，满足性质：
（1）输入：有零个或多个外部量作为算法的输入。
（2）输出：算法产生至少一个量作为输出。
（3）确定性：组成算法的每条指令清晰、无歧义。
（4）有限性：算法中每条指令的执行次数有限，执行每条指令的时间也有限。
2.简要分析分治法能解决的问题具有的特征。
答：分析分治法能解决的问题主要具有如下特征：
（1）该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决；
（2）该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质；
（3）利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
（4）该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
3.简要分析在递归算法中消除递归调用，将递归算法转化为非递归算法的方法。
答：将递归算法转化为非递归算法的方法主要有：
（1）采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用工作栈。
该方法通用性强，但本质上还是递归，
只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效果不明显。
（2）用递推来实现递归函数。
（3）通过Cooper 变换、反演变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭代求出结果。
后两种方法在时空复杂度上均有较大改善，但其适用范围有限。
三、算法编写及算法应用分析题：
1.冒泡排序算法的基本运算如下：
for i ←1 to n-1 do
for j ←1 to n-i do
if a[j]<a[j+1] then
交换a[j]、a[j+1]；
分析该算法的时间复杂性。
答：排序算法的基本运算步为元素比较，冒泡排序算法的时间复杂性就是求比较次数与n 的关系。
（1）设比较一次花时间1；
（2）内循环次数为：n-i 次,（i=1,…n ），花时间为：
∑-=-=i
n j i n 1)(1 （3）外循环次数为：n-1，花时间为：
2.设计一个分治算法计算一棵二叉树的高度。
答：算法思想：对于二叉树T ，若为空树，则其高度为0；否则，分别求其左子树和右子树的高度，最
大者加1 即为树T 的高度。
其描述如下：
)1(2)()(1
-=-=∑=n n i n n T n i
int BTLength(BT T)
//为了便于描述，假定二叉树类型为BT。
T 的左子树为T.lchild，右子树为T.rchild。
{
if(T= =NULL) return 0; //T为空树
return max(BTLength(T.lchild),BTLength(T.rchild)) +1
}
3.设计一个分治算法来判定给定的两棵二叉树T1 和T2 是否相同。
答：算法思想：对于两棵二叉树T1 和T2，若其根结点值相同，且其左右子树分别对应相同，则T1＝T2；否则T1≠T2。
其描述如下：
boolean BTEQUAL(BT T1，BT T2)
//为了便于描述，假定二叉树类型为BT。
二叉树T的左子树为T.lchild，右子树为T.rchild。
二叉树T的根结点值T.data。
{
if(T1= =NULL&& T2= =NULL) return True; //均为空树
if(T1&&T2&&T1.data==T2.data&&BTEQUAL(T1.lchild,T2.lchild)&&BTEQUAL (T1.rchild, T2.rchild))
return True;
return False;
}
4.给出一个分治算法来找出n 个元素的序列中的第2大元素，并分析算法的时间复杂度。
答：算法思想：当序列A[1..n]中元素的个数n=2 时，通过直接比较即可找出序列的第2 大元素。
当n>2 时，先求出序列A[1..n-1]中的第1 大元素x1 和第2 大元素x2；然后，通过2次比较即可在三个元素x1x2 和A[n]中找出第2 大元素，该元素即为A[1..n]中的第2 大元素。
算法描述如下：
SecondElement(A[low..high],max1,max2)
{//假设主程序中调用该过程条件为high-low>=2
if(hight-low= =2)
{
if(A[low]<A[hight]){max2= A[low];max1=A[high];}
else {max2= A[high];max1=A[low];}
}
else
{
SecondElement(A[low..high],x1,x2);
if(x1<=A[n]) { max2=max1; max1=A[n];}
else if(x2>=A[n]) { max2=x2; max1=x1; }
else { max2=A[n]; max1=x1; }
}
}
该算法的时间复杂度满足如下递归方程：T(n)=T(n-1)+2；T(2)=1。
解得T(n)=2n-3。