的转置矩阵
a11 a12 T A a 1n
a 21 a m 1 a 22 a m 2 a 2 n a mn
一个m行n列矩阵A的转置矩阵是一个n行m列的矩阵． 7
如果两个 m行n列矩阵 A (aij )mn , B (bij )mn
称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵．其 中aij表示第i行第j列处的元素，i称为aij的行指标，j 称为aij的列指标．
2
矩阵通常用A，B，C…大写字母表示，若需指 明矩阵的行数和列数常写为或．例如：
0 1 2 A 1 2 3
为一个2×3矩阵． 在以后的讨论中，还会经常用到一些特殊的矩 阵，下面分别给出他们的名称 ,元素全为零的矩阵 称为零矩阵，记作O或0，如：
022
0 0 0 0 0 0 0 ,023 0 0 0
3
当m = n时，称A为n阶矩阵（或n阶方阵）． 只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵，分 别称为行矩阵和列矩阵，如：
a11 a 21 a n1
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四、 矩阵与矩阵相乘
设甲、乙两家公司生产Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三种型号的计算 机，月产量（单位：台）为
I II III 25 20 18 甲 24 16 27 乙
如果生产这三种型号的计算机的每台的利润（单 位：万元/台）为
0.5 I 0.2 II 0.7 III
a11 a 21 a n1 0 a 22 an2 0 0 a nn
的矩阵分别称为上三角矩阵和下三角矩阵．
6
把矩阵的行与列依次互换，得到的矩阵称为矩阵
A
的转置矩阵．即矩阵 a11 a12 a1n
a 21 A a m1 a 22 am 2 a2 n a mn
圆括号或中括号．
9
二、 矩阵的加法和减法
定义：两个 m行n列的矩阵 A (aij )与B (bij )
相加（减），他们的和 （差） A B (aij bij )
显然，两个m行n列的矩阵相加（减）得到的 和（差）仍是一个m行n列的矩阵．应注意，只有 当两个矩阵的行数与列数分别相同时，它们才能作 加减运算． 容易验证，矩阵的加法运算满足以下规律： （１）交换律：A+B=B+A； （２）结合律：(A+B)+C=A+(B+C)．
0 6 1 6 2 0 1 0 2
11
0 2 4 0 4 3 T A A 4 1 2 2 1 2 3 2 1 4 2 1 0 2 7 2 0 4 7 4 0
m行n列矩阵相乘，它们的乘积 为kA，并且规定Ak=kA．例如，设
5 6 7 A 4 3 1
2 5 2 6 2 (7) 那么， 2A 2 4 2 3 2 1 10 12 14 8 6 2
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例2 已知
0 2 4 A 4 1 2 3 2 1
求A+AT和A-AT．
0 2 4 0 4 3 T 解 ：A A 4 1 2 2 1 2 3 2 1 4 2 1
a b 3
8
ab7
解得a=5, b=2, c=2, d=-1，
即当a=5, b=2, c=2, d=-1时 A=B． 应当注意的是：矩阵与行列式是两个不同 的概念，行列式是一个算式，计算结果是一个
数，而矩阵是有数构成的一个数表；记法也不
同，行列式用的是两条竖线，而矩阵用的是一对
的对应元素相等，即 aij bij (i 1,2, m; j 1,2,, n)
那么就称这两个矩阵相等 .
3 a b 7 ,B 例1 已知 A 3 c d a b 2c d 3
而且A=B，求a, b, c, d． 解 根据矩阵相等的定义， 3 2c d 可得方程组 3 cd
a11
a12 a1n
4
若方阵的元素 aij=0（i≠j），则称A为对角矩
阵，aii（i=1,2,…,n）
称为A的对角元，如
1 0 A 0 5
为二阶对角矩阵． 对角元全为数1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位 矩阵记为In．
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形如
a11 0 0 a12 a1n a 22 a 2 n 0 a nn
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则这两家公司的月利润（单位：万元）应为
25 0.5 20 0.2 18 0.7 29.1甲 24 0.5 16 0.2 27 0.7 34.1 乙
可见，甲公司每月的利润为29．1万元，乙公司的
7.2 矩阵的概念和运算
主要内容：
一.矩阵的概念.
二.矩阵的加法和减法.
三.数与矩阵相乘.
四.矩阵与矩阵相乘. 五.利用矩阵表示线性方程组.
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一、 矩阵的概念
定义1 由m×n个数排成的m行n列数表
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am 2 a1n a2n a mn