Born T o Win
考研数学线性代数之矩阵的乘法运算
任意两个矩阵不一定能够相乘，即两个矩阵要相乘必须满足的条件是：只有当第一个矩阵A 的列数与第二个矩阵B 的行数相等时A ×B 才有意义。

一个m ×n 的矩阵A 左乘一个n ×p 的矩阵B ，会得到一个m ×p 的矩阵C 。

左乘：又称前乘，就是乘在左边(即乘号前)，比如说,A 左乘E 即AE 。

一个m 行n 列的矩阵与一个n 行p 列的矩阵可以相乘，得到的结果是一个m 行p 列的矩阵，其中的第i 行第j 列位置上的数为第一个矩阵第i 行上的n 个数与第二个矩阵第j 列上的n 个数对应相乘后所得的n 个乘积之和。

比如，下面的算式表示一个2行2列的矩阵乘以2行3列的矩阵，其结果是一个2行3列的矩阵。

其中，结果矩阵的那个4（结果矩阵中第二（i ）行第二（j)列）=
2（第一个矩阵第二(i)行第一列）*2（第二个矩阵中第一行第二(j)列）
+
0（第一个矩阵第二(i)行第二列）*1（第二个矩阵中第二行第二(j)列）：
矩阵乘法的两个重要性质：一，矩阵乘法满足结合律； 二，矩阵乘法不满足交换律。

为什么矩阵乘法不满足交换律呢？这是由矩阵乘法定义决定的。

因为矩阵AB=C ，C 的结果是由A 的行与B 的列相乘和的结果；而BA=D ，D 的结果是由B 的行与A 的列相乘和的结果。

显然，得到的结果C 和D 不一定相等。

同时，交换后两个矩阵有可能不能相乘。

因为矩阵乘法不满足交换律，所以矩阵乘法也不满足消去律。

即由AB=AC 是得不到B=C 的，这是因为()AB AC A B C O =⇒-=是得不到A=O 或B-C=O 即B=C.例
111000010A B ⎛⎫⎛⎫=≠=≠ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭0， 但0000AB O ⎛⎫== ⎪⎝⎭
那么由AB=O 一定得不到A=O 或B=O 吗？回答是否定的。

比如A 是m ×n 阶矩阵，B 是n ×s 阶矩阵，若A 的秩为n ，则AB=O ，得B=O ；若B 的秩为m ，则AO ，得A=O.为什么吗？原因会在有关齐次线性方程组的文章里进行讲解.。