错答：C 考点：二次根式的性质与化简。 分析：本题可先将根号内的分式的分子分解因式，再根据 x 与 y 的大小关系去绝对值．
解答：解：原式=
=
=|x﹣2y|
∵x＜2y
∴原式=（2y﹣x） ．故选 D．
点评：本题考查的是二次根式的化简，解此类题目时要注意题中所给的范围去绝对值．
5．若
=1﹣2x，则 x 的取值范围是（ ）
错解 依题意，设 a=9k，b=15k，c=12k(k＞0)．
∵a2＋b2=(9k)2＋(15k)2=306k2，c2=(12k)2=144k2，
∴a2＋b2≠c2．∴△ABC 不是直角三角形．
诊断 我们知道“如果一个三角形最长边的平方等于另外两边的平方和，那么这个三角形是直角三角形”．而 上面解答错在没有分辨清楚最长边的情况下，就盲目套用勾股定理的逆定理．
解答：解：∵实数 a、b 满足
，
∴a、b 异号，且 b＞0； 故 a＜0，或者 a、b 中有一个为 0 或均为 0． 于是点（a，b）在第二象限或坐标轴上．故选 C． 点评：根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定 a、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置．
2
7．计算：
= 2+ ．
考点：二次根式的性质与化简；零指数幂；负整数指数幂。 分析：本题涉及零指数幂、负整数指数幂、二次根式化简四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算， 然后根据实数的运算法则求得计算结果． 解答：解：原式= ﹣ +2 =2 ﹣ +2 =2+ ．
诊断 题设中既没明确指出△ABC 的形状，又没给出图形，因此，这个三角形有可能是锐角三角形，也可能 是直角三角形或钝角三角形．所以高 AE 既可以在形内，也可以与一边重合，还可以在形外，这三种情况都符合题 意．而这里仅只证明了其中的一种情况，这就犯了以偏概全的错误。剩下的两种情况如图所示。
， 8、已知在△ABC 中，三条边长分别为 a，b，c，a=n，
A．2 B．4x﹣6 C．4﹣4x D．4x+4 错答：C 考点：二次根式的性质与化简。 分析：根据 x＜﹣1，可知 2﹣x＞0，x﹣1＜0，利用开平方和绝对值的性质计算． 解答：解：∵x＜﹣1 ∴2﹣x＞0，x﹣1＜0
∴|x﹣
﹣2|﹣2|x﹣1|
=|x﹣（2﹣x）﹣2|﹣2（1﹣x） =|2（x﹣2）|﹣2（1﹣x） =﹣2（x﹣2）﹣2（1﹣x） =2． 故选 A．
点评：本题考查 0 次幂、负数次幂、二次根式的化简以及合并，任何非零数的 0 次幂都得 1，
=1，
负数次幂可以运用底倒指反技巧，
=21=2．
8．代数式
取最大值时，x= ±2 ．
考点：二次根式的性质与化简。 专题：计算题。 分析：根据二次根式有意义的条件，求出 x 的取值即可．
解答：解：∵
≥0，
∴代数式
取得最大值时，
取得最小值，
即当
=0 时原式有最大值，
解
=0 得：x=±2，
答案为±2． 点评：本题比较简单，考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 0． 二、填空题
9．若 a＜1，化简
= ﹣a ．
考点：二次根式的性质与化简。
分析：
=|a﹣1|﹣1，根据 a 的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|=﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
错证 如图． ∵AE⊥BC 于 E， ∴AB2=BE2＋AE2， AC2=EC2＋AE2． ∴AB2－AC2=BE2－EC2 =(BE＋EC)·(BE－EC)
7
=BC·(BE－EC)．
∵BD=DC， ∴BE=BC－EC=2DC－EC． ∴AB2－AC2=BC·(2DC－EC－EC)=2BC·DE．
（A） A 为直角 （B） C 为直角 （C） B 为直角 （D）不是直角三角形
错解：选（B）
分析：因为常见的直角三角形表示时，一般将直角标注为 C ，因而有同学就习惯性的认为 C 就一定表示直
角，加之对本题所给条件的分析不缜密，导致错误.该题中的条件应转化为 a2 b2 c2 ，即 a2 b2 c2 ，因根据这
∴2a+3 ＜﹣8+3 ＜0
原式=|2a+3 |+
=|2a+3 |+
=﹣2a﹣3 +4﹣a= ﹣3a．
故选 D． 点评：本题考查的是二次根式的化简和绝对值的化简，解此类题目时要充分考虑数的取值范围，再去绝对值，否则 容易计算错误．
4．当 x＜2y 时，化简
得（ ）
A．x（x﹣2y） B．
C．（x﹣2y） D．（2y﹣x）
∴AC=AM，∴∠AMD=60°=∠C．
1
3
∴∠B=30°,AC= BC,AB= BC
2
2
1
∴AC+AB+BC= BC+
3 BC+BC=6+ 2 3 .
22
∴BC=4．
6
∵
1 2
BC=
23 3
AD,
∴AD=
1 BC 2 23
=
3
3 (cm)
6、在△ABC 中，a∶b∶c=9∶15∶12， 试判定△ABC 是不是直角三角形．
点评：本题主要考查二次根式的化简方法与运用：a＞0 时， =a；a＜0 时， =﹣a；a=0 时，
解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、绝对值等考点的运算．
3．化简|2a+3 |+
（a＜﹣4）的结果是（ ）
=0；
A． ﹣3a B．3a﹣ C．a+
D． ﹣3a
错答：B 考点：二次根式的性质与化简；绝对值。 分析：本题应先讨论绝对值内的数的正负性再去绝对值，而根号内的数可先化简、配方，最后再开根号，将两式相 加即可得出结论． 解答：解：∵a＜﹣4， ∴2a＜﹣8，a﹣4＜0，
n2
n2 4
b= -1,c=
(n 是大于 2 的偶数)。求证:△ABC 是直角三角形。
4
4
错证 1 ∵n 是大于 2 的偶数，∴取 n=4，这时 a=4，b=3，c=5． ∵a2＋b2=42＋32=25=52=c2， ∴△ABC 是直角三角形(勾股定理的逆定理)．
3
解答：解：原式=
﹣
=x+ ﹣（ ﹣x）=2x．
点评：本题考查的是对完全平方公式的灵活使用和对二次根式的化简应用． 三、计算题
11．计算： •（﹣ ）﹣2 ﹣（2
）0+|﹣ |+
的结果是
．
考点：二次根式的性质与化简；绝对值；零指数幂；负整数指数幂。 分析：计算时首先要分清运算顺序，先乘方，后加减．二次根式的加减，实质是合并同类二次根式，需要先化简， 再合并．
解答：解： •（﹣ ）﹣2 ﹣（2
）0+|﹣ |+
= •4﹣1+ +1+
=2 +4 =7 ． 点评：计算时注意负指数次幂与 0 次幂的含义，并且理解绝对值起到括号的作用．
十七章《勾股定理》易错题 一、审题不仔细，受定势思维影响
1 、 在△ABC 中， A, B, C 的对边分别为 a,b, c ，且 (a b)(a b) c 2 ，则（ ）
= 2 (3+ 3 )(cm) 5
诊断 我们知道，“勾三股四弦五”是直角三角形中三边关系的一种特殊情形，并不能代表一般的直角三角形 的三边关系．上述解法犯了以特殊代替一般的错误．
2
正确解法∵AM=
3 AD
3
∴MD= ( 2 3AD)2 AD2 = 3 AD
3
3
又∵MC=MA，∴CD=MD．
∵点 C 与点 M 关于 AD 成轴对称．
∴△MBP 为直角三角形，∴ MBP 90 ，∴乙船是沿着南偏东 30 方向航行的.
分析：虽然最终判断的结果也是对的，但这解题过程中存在问题.勾股定理的使用前提是直角三角形，而本题需
对三角形做出判断，判断的依据是勾定理的逆定理.其形式为“若 a2 b2 c2 ，则 C 90 .错解的原因在于未能充
∴AC= 3 (6+2 3 )= 3 3
12
2
AB= 4 (6+2 3 )= 6 2 3
12
3
5
5
BC= (6+2
3 )= 15 5
3
12
6
又∵ 1 AC AB = 1 BC AD
2
2
∴AD=
AC AB
=
3 2
3
62 3
3
BC
15 5 3
6
(3 3) 2(3 3)
=
5(3 3)
解答：解：∵a＜1， ∴a﹣1＜0，
∴
=|a﹣1|﹣1
=﹣（a﹣1）﹣1 =﹣a+1﹣1=﹣a．
点评：对于
化简，应先将其转化为绝对值形式，再去绝对值符号，即
．
10．若 0＜x＜1，化简
考点：二次根式的性质与化简。
分析：由
，
简原式即可得出最终结果．
= 2x ． ，又 0＜x＜1，则有 ﹣x＞0，通过变形化
每小时 15 海里的速度前进，2 小时后，甲船到 M 岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 海里，你知道乙船是沿哪个方向航
行的吗？
错解：甲船航行的距离为 BM= 8 2 16 （海里）， 乙船航行的距离为 BP=15 2 30 （海里）.
∵ 162 302 34 （海里）且 MP=34（海里）
解答：解：原式=
﹣
=anb3 ﹣an+1b2 =（anb3﹣an+1b2） ． 故选 B． 点评：本题考查的是二次根式的化简．最简二次根式的条件：被开方数中不含开得尽方的因式或因数．
点评：解答此题，要弄清二次根式的性质： =|a|，分类讨论的思想．