第19卷哈尔滨师范大学自然科学学报V ol.19,N o.52003第5期NAT URA L SCIE NCES JOURNA L OF H AR BI N NORM A L UNI VERSITY几种三维重建方法的比较3尚明姝 解　凯(哈尔滨师范大学)【摘要】　本文综述了三维重建的若干方法,并分析比较了各种方法的特点,同时还给出了在欧氏几何下一种简单摄像机配置下的三维重建空间点的简单方法1此外给出了通过矩阵分解的办法来推导基本矩阵F 的方法1关键词:三维重建;摄影重建;基本矩阵收稿日期:2003-09-043本课题是黑龙江省教育厅科技资金(10531085)、哈师大校基金资助项目1　三维重建的意义客观世界在空间上是三维的,在工程技术界一般要对三维物体进行分析,以便获取有用的信息1目前,大多数图像采集装置所获取的图像本身是在二维平面上的,尽管其中可以含有三维物体的空间信息1因此,要从图像认识真实物体,就要从二维图像中恢复三维空间信息,这正是三维立体重建所要完成的任务12　三维重建的若干方法211　欧氏几何意义下三维重建的一般方法欧氏几何下三维重建的一般方法是在摄像机已定标情况下,从重建空间点开始,由三维顶点计算空间直线、空间二次曲线,由计算出的空间直线重组三维面、二次曲面,最后由计算出的三维平面、二次曲面重建三维实体121111　空间点的重建空间物体表面是由三维点构成的,若能获得足够多的三维点,三维物体的形状与位置就可唯一确定1因此,用立体视觉的方法获得三维点的坐标是最基本的、最简单的,但也是十分重要的1假定对应空间点的两个摄像机上的图像点已从两幅图像中分别检测出来,两个摄像机已标定,其投影矩阵已知1通过列出空间点在图像上投影点坐标(u ,v )与世界坐标系(x ,y ,z )的关系,得出方程组,解出此空间点在世界坐标系下的坐标1为了更清楚地了解点重建的物理意义,在文献[1]中给出了一种简单摄像机配置下空间点重建方法1以下作者将给出另一种简单摄像机配置下三维重建的简单方法1如图1、2所示,原摄像机配置为:C 1与C 2摄像机的焦距相等,各内部参数也相等,且两个摄像机的光轴互相平行,X 轴互相重合,Y 轴互相平行,两个摄像机坐标系只差X 轴方向上的一个平移,平移距离记为b.现将左摄像机绕Y 轴顺时针转θ角,右摄像机逆时针转θ角,以左摄像机坐标系为世界坐标系1在图2所示配置下,任一空间点在C 1坐标系下坐标为(x 1,y 1,z 1),在C 2坐标系下坐标为(x 2,y 2,z 2),其中,(x 1,y 1,z 1)与(x 2,y 2,z 2)关系如下:转换为方程:x 2=x 1cos2θ+z 1sin2θ-b y 2=y 1z 2=-x 1sin2θ+z 1cos2θ(1)由中心射影的比例关系可得:u 1-u 0=a x x 1z 1,v 1-v 0=a y y 1z 1u 2-u 0=a x x 2z 2(2)v 2-v 0=a yy 2z 2(3)将上述(1)代入(2)(3)两式,解得此空间点在C 1坐标系下的坐标(x 1,y 1,z 1)为: x 1=b (u 1-u 0)(v 2-v 0)(u 1-u 0)(v 2-v 0)cos2θ+a x (v 2-v 0)sin2θ-(v 1-v 0)(u 2-u 0) y 1=ba x (v 1-v 0)(v 2-v 0)a y (u 1-u 0)(v 2-v 0)cos2θ+a x a y (v 2-v 0)sin2θ-a y (v 1-v 0)(u 2-u 0) z 1=ba x (v 2-v 0)(u 1-u 0)(v 2-v 0)cos2θ+a x (v 2-v 0)sin2θ-(v 1-v 0)(u 2-u 0)这是在摄像机简单配置下的情况,在一般情况下,我们可用摄像机定标方法求出任意配置的双摄像机投影矩阵,用最初介绍的方法求空间点坐标121112　空间直线的重建点的重建是把空间三维点作为物体的基元,在这里取直线为基元1空间直线重建的方法是已知空间直线S 在两个图像平面上的投影为S 1和S 21令S 1与S 2分别与各自的摄像机中心O 1与O 2构成平面π1与π21由于空间直线S 既在平面π1上又在π2平面上,所以π1与π2两个平面方程的联立即可得空间直线S 在世界坐标系下的表达121113　空间二次曲线重建现实世界中,许多物体的表面是二次曲面,二次曲面与平面的交线为二次曲线,因此对空间二次曲线的重建有重要的现实意义1假定前提如前文中点重建所述1分别列出两幅图像上各自曲线的二次型方程,将方程中图像坐标变换为世界坐标1从这两个方程可解出空间曲线Q 所在的平面方程1由于Q 不唯一,根据[Ma 1993]可得关系式:M T1Q 1M 1+kM T2Q 2M 2=t 1t T2+t 2t T1,该式表明任何同时位于O 1Q 1二次曲面与O 2Q 2二次曲面上的点一定位于t 1或t 2平面上1由于M 1与M 2,Q 1与Q 2均已知,计算上式,得到解矩阵P =t 1t t2+t 2t t11可通过解二次方程及线性运算求出t 1、t 2.由于Q 解不唯一,还需其他信息来唯一地确定Q 1213　欧氏几何意义下基于表面提取的三维重建方法立体重建的大多数算法都是自底而上的1但由于正交投影具有积聚性特点,视图上一个二维点,即可能是三维顶点的投影,也可能是投影面垂直线的投影,所以,简单地组合不同视图上的二维点生成相应的三维点会产生误差1在以下各步中虚假图元的产生也不可避免1在文献[2]中提出了另种三维重建算法———先确定空间三维面,再由此重建三维边,最后重建三维点1这个算法需三个摄像机1在文献[2]中给出了如何根据目标拾取点与世界坐标系的关系来确定主、侧、俯三个视图以及这三个视图与空间三维形态之间的对应关系1三维立体的生成过程为:在主视图上选择线段或面域,按三个视图的对应关系,决定这三个视图上的对应基元是否匹配1若匹配,则根据对应表重建此三维面1通过组合视图上对应点的投影坐标,得出三维面各顶点的三维坐标1通过比较两个端点的X ,Y 坐标,可判断该线段是水平线、竖直线还是倾斜线,恢复三维边1最后重建三维点,则视图所对应的三维形体得以重建1这种算法由三维面出发导出构成此面的三维边和三维点,有效地减少了虚假图元的产生1这是一种人机交互重建平面立体的算法,在利用计44哈尔滨师范大学自然科学学报 2003年算机自动重建的基础上,将人的因素添加进来,利用人的知识和技巧弥补自动重建的不足1213　射影几何意义下的三维重建在欧氏几何意义下的三维重建,我们需要进行摄像机定标1在射影几何意义下的三维重建中,利用基本矩阵F ,F阵描述了双摄像机的相对位置1重建方法为:得到双摄像机足够的图像对应点,求得F 阵,将F 阵分解为F =[m 2]×M 211令双摄像机的投影矩阵为M 1=(I ,0),M 2=(M 21,m 2),由欧氏几何意义下的三维重建方法来对空间点、直线、曲线、三维重建1214　由矩阵分解求基本矩阵F在这里我们再给出由矩阵分解的办法来求基本矩阵F 1已知:x 1=fX 1cZ 1c y 1=f Y 1cZ 1cx 2=fX 2cZ 2c y 1=f Y 2c Z 2c其中(x 1,y 1),(x 2,y 2)为P 点的图像坐标;(x 1c ,y 1c ,z 1c )与(x 2c ,y 2c ,z 2c )为空间点P 在摄像机坐标系下的坐标,上述公式可化为:z 1c x 1y 11=f 0　00　f 00　0　1x 1c y 1c z 1c z 2c x 2y 21=f 0　00　f 00　0　1x 2c y 2c z 2c 令　x 1=x 1y 1z 1　x 1c =x 1c y 1cz 1cx 2=x 2y 2z 2　x 2c =x 2c y 2c z 2c以上两式可化为:z 1c x 1=f 0　00　f 00　0　1x 1c z 2c x 2=f 0　00　f 00　0　1x 2c(4)已知有公式:x c1=R t0　1x w1其中,R 为3×3的矩阵,x w 为3×1的矩阵,x c 为3×1的矩阵1由上式得x 1c =R 1x w +t 1x 2c =R 2x w +t 2(5)将(5)式代入(4)式中得:z 1c x 1=f 0　00　f 00　0　1(R 1x w +t 1)z 2c x 2=f 0　00　f 00　0　1(R 2x w +t 2)令f 0　00　f 00　0　1z 1c=k 1,f 0　00　f 00　0　1z 2c=k 2;其中k 1,k 2均满秩可逆1将以上两式化为: x 1=k 1(R 1x w +t 1)(6) x 2=k 2(R 2x w +t 2)(7)由公式(7)得:x w =R -12k -12x 2-R -12t 2(8)将式(8)代入(6)中得:x 1=k 1R 1R -12k -12x 2-k 1R 1R -12t 2+kt 1令m =k 1t 1-k 1R 1R -12t 2,上式可化为:x 1=k 1R 1R -12k -12x 2+m.等式两边同乘[m ]×得:[m ]×x 1=[m ]×k 1R 1R -12k -12x 2.因此可得:x T 2[m ]×k 1R 1R -12k -12x 1=0令F =[m ]×k 1R 1R -12k -12.至此,我们得到了另一种求基本矩阵F 的方法1215　射影几何意义下直线对应的三维重建此方法适用于由空间直线构成的空间场景.由未定标的摄像机所摄得的三幅图像是必需的.我们对M 0,M 1,M 2做一般形式变换,假定出M 0,M 1,M 2的表达形式,由于三幅图像上的三条直线都是空间一条公共直线的投影,可得这三条直线的一个关系式,对这一关系是进行变换,在已知13条图像对应直线条件下,就可解出M 0,M 1,M 2的具体值1最后,用欧式几何意义下的直线恢复方法重建空间直线,重建空间场景1这个算法是在射影几何意义下三维重建的一种特殊情况,只有在空间场景仅由空间直线组成时可用,并且是十分有效的154第5期 几种三维重建方法的比较3　结论欧氏几何意义下的重建算法需预先标定摄像机,计算量较大1其中,自底而上的算法易产生虚假图元,自顶而下的算法克服了这个问题1欧氏变换是射影变换的子群,射影几何意义下的重建是最一般意义下的重建1在射影几何的重建算法中,不需标定摄像机,只需解方程求基本矩阵,分解基本矩阵得到投影矩阵,再进行三维重建1这种算法比较简便1对于仅由空间直线构成的空间场景,Hartley 给出一种在射影几何意义下有效的算法1参　考　文　献1　马颂德,张正友1“计算机视觉———计算理论与算法基础”,北京:科学出版社,19982　吴战国1“基于表面提取的三维重建方法”,《计算机应用与软件》12001,V ol.18,N o.40,3　章毓晋1“图像理解与计算机视觉”1北京:清华大学出版社,20004　Richard I.Hartley ,”Projective Reconstruction from Line C orrespon 2dence ”,19945　Richard I.Hartley ,”Projective Reconstruction and Invariants fromMultiple Image ”.IEEE T rans.PAMI ,1994,V ol.16,N o.10,pp.1036～10406　Richard I.Hartley ,”S tereo from Uncalibrated Cameras ”,IEEE 0-8186-2855-3/927　Richard I.Hartley ,”K ruppa ’s Equations Derived from the Funda 2mental M atrix ”IEEE P960958　S.D.M a ,C onics -Based S tereo ,M otion Estimation ,and P ose De 2term ination ,International Journal of C om puter Version ,1993,V ol.10,N o.1,COMPARISON IN SEVERAL METH ODS OF THREE -DIMENSIONALOBJECTS RECONSTRUCTIONShang Mingshu X ie K ai(Harbin N ormal University )ABSTRACTThis paper narrates s ome alg orithms of THREE -DI ME NSI ONA L object reconstruction and com pares the prop 2erties of these alg orithms.Meanwhile authors present a easy method of THREE -DI ME NSI ONA L object reconstruc 2tion where camerSas are specially placed.Furtherm ore ,we can get other method for fundamental matrix.K eyw ords :Reconstruction ;Projective reconstruction ;Fundamental matrix64哈尔滨师范大学自然科学学报 2003年。